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Encriptación

Encriptación de mensajes utilizando la inversa de una matriz.
by

Nestor Tirado Díaz

on 3 December 2012

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Transcript of Encriptación

c) Por tanto, la secuencia de matrices filas codificadas es:


Finalmente, suprimiendo la notación matricial, queda el siguiente criptograma:


A quien no conozca la matriz A le será muy difícil descifrar ese criptograma.


Pero a un receptor autorizado, conocedor de la matriz A, le bastará multiplicar el criptograma A por la matriz A-1 para recuperar el mensaje original. En otras palabras, si:


es una matriz 1xn no codificada, Y=XA es la correspondiente matriz codificada. El receptor puede decodificar Y multiplicando a la derecha por A, con lo que obtendrá: Para encriptar información se utilizan complejas fórmulas matemáticas y para desencriptar, se debe usar una clave como parámetro para esas fórmulas.
El texto plano que está encriptado o cifrado se llama criptograma.








La criptografía es la ciencia que estudia la manera de cifrar y descifrar los mensajes para que resulte imposible conocer su contenido a los que no dispongan de unas claves determinadas. En informática la criptografía se usa en comunicaciones y en el almacenamiento de ficheros. FORMULACIÓN DEL PROYECTO MARCO TEÓRICO Encriptación de mensajes usando la inversa de una matriz. ENCRIPTACIÓN HIPÓTESIS Para la generación de mensajes o información relevante del usuario que se enviara a través de internet será empleando para este caso el Algebra Lineal específicamente operaciones con matrices. OBJETVOS ESPECIFÍCOS Determinar el mejor método para emplear matrices para la encriptación de la información.

Hacer un algoritmo que pueda ser ingresado en una computadora para automatizar este proceso. OBJETIVO GENERAL Utilizar el Algebra Lineal y sus aplicaciones con matrices, como herramienta fundamental en el desarrollo de los conocimientos teóricos impartidos en clases, analizando las posibles aplicaciones de la misma y su importancia en la realidad, optimizando procesos para un mejor desempeño y efectividad de las actividades diarias. Enunciado del Problema La empresa metal-mecánica COFAME S.A. necesita enviar su información, sin embargo como sabemos La Internet no cuenta con las medidas de seguridad necesarias ya que cualquier persona con conocimientos técnicos necesarios podría tener acceso a una conexión a internet y poder ver la información relevante de la empresa, tenemos que reconocerlo, existe muchos tipos de información que no queremos que otros vean, como pueden ser:

Información de tarjetas de crédito.
Números de la seguridad social.
Correspondencia privada.Datos personales.
Información sensitiva de una compañía o empresa.
Información de datos bancarios. Formulación del Problema ¿Cómo encriptar esta información antes de ser enviado a través del internet para no ser vista por usuarios ajenos a esta? OPERACIONES CON MATRICES Para sumar las matrices A y B, se requiere que las matrices tengan el mismo número de filas y de columnas. Si queremos encontrar la suma C = A + B, cada elemento de la matriz C lo calculamos de la siguiente forma: 

cij = aij + bij

para todos lo i,j en la matriz C. RESTA DE MATRICES En este caso, se deben cumplir las mismas propiedades que la suma de matrices y el cálculo de los elemento de la matriz C se calculan como:

cij = aij - bij

para todos lo i,j en la matriz C. MATRIZ INVERSA Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que A.B = B.A = I; siendo I la matriz identidad.

Denominamos B a la matriz inversa de A y la denotamos por ^(−1).

Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario se dice que es singular. ENCRIPTACIÓN La encriptación es el proceso para volver ilegible información considerada importante. La información una vez encriptado sólo puede leerse aplicándole una clave.

Se trata de una medida de seguridad que es usada para almacenar o transferir información delicada que no debería ser accesible a terceros. Pueden ser contraseñas, números de tarjetas de crédito, conversaciones privadas, etc. MATRIZ Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: TIPOS DE MATRICES Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m=1 y por tanto es de orden 1 x n. MATRIZ FILA Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. MATRIZ COLUMNA Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. MATRIZ FILA Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. MATRIZ TRANSPUESTA Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j. MATRIZ TRANSPUESTA Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa 0. MATRIZ NULA SUMA DE MATRICES Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA SOLUCIÓN b) Formando las matrices filas no codificadas. Escribir las matrices fila no codificadas de tamaño 1x3 para el mensaje MEET ME MONDAY. Por tanto, la secuencia de matrices fila decodificadas es : c) Para hallar las matrices fila decodificadas, multiplicamos las codificadas por A (a la derecha). CODIFICACIÓN a) Utilizando la matriz de codificación: Asignamos un número a cada letra del abecedario (con 0 asignado al espacio en blanco), como sigue: Partiendo el mensaje (incluidos los espacios en blanco, pero ignorando otros signos de puntuación) en grupos de tres se obtienen las siguientes matrices fila no codificadas: DECODIFICACIÓN Usar la inversa de la matriz: Para decodificar el criptograma: a) En primer lugar, hallamos A por eliminación de Gauss-Jordan. b) Ahora para decodificar el mensaje, lo partimos en grupos de tres para formar las matrices fila codificadas. Muchas gracias por su atención
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