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Probabilidade

Generalidades sobre probabilidade - Introdução ao conceito
by

Filipe Amaral

on 8 July 2013

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Transcript of Probabilidade

Probabilidade
Filipe Amaral
2013

Qual é a probabilidade de ganhar
o euromilhões?

COMO QUANTIFICAR UMA PROBABILIDADE?
O QUE É UM ACONTECIMENTO?
Um acontecimento é o resultado de uma experiência que se pode realizar, considerando sempre as mesmas condições iniciais.
ACONTECIMENTO
ALEATÓRIO
DETERMINISTA
A probabilidade de ganhar o euromilhões é:
Nº de Casos Possíveis = 68647824
Nº de Casos Favoráveis = 1
P=0,0000000145
Exemplo
Considere a seguinte experiência:
Baralham-se as 5 cartas e retira-se uma carta de forma aleatória.
Qual a probabilidade de sair o Ás?
Exemplo
Se existem 5 cartas e qualquer uma pode ser a escolhida então a probabilidade poderá ser expressa da seguinte forma:
Como quantificar uma probabilidade resultante de uma experiência aleatória?
Lei de Laplace
Seja
A
um acontecimento de uma experiência aleatória, com
n
resultados todos equiprovaveis.
Então a probabilidade de sucesso para
A
será dada pela seguinte expressão:
Pierre Simon, Marquis de Laplace ( 1749 — 1827)
Exercício - Probabilidade Simples
Considera a seguinte experiência:
Numa embalagem pequena de M&Ms existem 6 cores diferentes: 6 azuis, 5 vermelhos e igual número de amarelos e 4 de cada uma das restantes cores.
Retira-se de forma aleatória um M&M.
1-Qual o espaço amostral?
2-Qual a probabilidade de sair da cor vermelha?
3-Qual a probabilidade de não sair da cor laranja?
TÉCNICAS DE CONTAGEM
Considera a seguinte experiência:
Lançam-se dois dados, numerados de 1-6, ao mesmo tempo e observam-se as faces que ficam voltadas para cima.

ESPAÇO AMOSTRAL
QUAL A PROBABILIDADE DE SAIR UM "DOUBLE"?
TÉCNICAS DE CONTAGEM
TABELA DE DUPLA ENTRADA
A tabela de dupla entrada aplica-se a uma experiência composta por dois acontecimentos simultâneos, neste exemplo o lançamento de dois dados.
Dado#1={1,2,3,4,5,6}
Dado#2={1,2,3,4,5,6}
Conclui-se, observando a tabela, que existem 36 casos possíveis.
PROBABILIDADE DE SAIR UM "DOUBLE"
TÉCNICAS DE CONTAGEM
DIAGRAMA DE ÁRVORE
O diagrama de árvore aplica-se quando acontece uma sucessão de acontecimentos iguais com um número reduzido de possibilidades.
Considere o acontecimento: "lança-se uma moeda ao ar e regista-se a face que fica voltada para cima."
O QUE ACONTECE NO PRIMEIRO LANÇAMENTO?
QUAIS OS CASOS POSSÍVEIS?
NA REALIDADE EXISTEM 3 POSSIBILIDADES!
TÉCNICA DE CONTAGEM
DIAGRAMA DE ÁRVORE
NOTA: Considerem-se apenas os dois casos possíveis mais obvios e equiprováveis.
O espaço amostral de 3 lançamentos pode ser facilmente observado recorrendo ao seguinte diagrama:
EXISTEM APENAS 8 CASOS POSSÍVEIS
EXERCÍCIOS
3) No lançamento de uma moeda ao ar, determine as seguintes probabilidades.
a) Ao fim de 2 lançamentos qual a P (Cara + Cara)?
b) Ao fim de 2 lançamentos qual a P (pelo menos uma Coroa)?
c) Ao fim de 3 lançamentos qual a P (pelo menos 2 Caras)?
EXERCÍCIO
Considera a seguinte experiência:
Uma caixa
A
contém
5 bebidas
: Coca-Cola, 7Up, ICETea e Sumol e Cerveja.
Uma caixa
B
contém
5 pratos
: Francesinha, Cachorro, Panados, Filetes e Churrasco.
Retira-se um elemento de cada Caixa
a) Quantas combinações de prato+bebida se podem fazer?
b) Qual a P (churrasco+7Up)?
c) Qual a P ( Um prato com Carne)?
Princípio Fundamental da Contagem
Considere-se um determinado acontecimento
A
que ocorre em
n
diferentes etapas:
n1
corresponde à primeira etapa
n2
corresponde à segunda etapa e assim sucessivamente, sendo que todas as etapas são independentes.
Então
P(A)
será determinada pelo produto das probabilidades ocorridas em cada etapa.
Voltemos ao exemplo da moeda ao ar!
Considere a Experiência:
"Lança-se uma moeda ao ar e regista-se a face que fica voltada para cima"
Qual a Probabilidade P(Cara, Cara) em dois lançamentos?
EXEMPLO
Uma caixa contém 10 bolas coloridas: 4 são azuis, 4 são amarelas e 2 são vermelhas.
Calcule as seguintes probabilidades:
P(Azul)
P(Azul,Amarela)
P(Vermelha, Vermelha)
P(Amarela, Azul, Vermelha)
P(Vermelha, Vermelha, Vermelha)
Técnicas de Contagem
1. Arranjos simples
Problema: 4 amigos vão jantar e sentam-se numa mesa com 4 lugares. De quantos modos diferentes o podem fazer?
Na primeira cadeira pode sentar-se qualquer um e isso corresponde a 4 hipoteses
Na 2ª cadeira pode serntar-se qualquer um dos 3 que ainda estão de pé!
...e assim sucessivamente...
Técnicas de Contagem
2. Arranjos completos
Problema: O ZéManel não se lembra do pin do seu smartphone? O pin é constituido por 4 digitos que variam entre 0 e 9. Quantas hipoteses existem.
O primeiro dígito pode ser um algarismo qualquer entre 0 e 9 e isso corresponde a 10 hipoteses
...e assim sucessivamente...
Técnicas de Contagem
3. Combinações
Problema: Quantas chaves de totoloto existem?
Uma chave de totoloto é formada por 5 números, não importando a ordem pela qual estes saem.
Quantas chaves existem?
O 2º algarismo pode ser, novamente, um algarismo entre 0 e 9...
O que é n! ?
Lê-se n factorial e é uma forma simplificada de escrever o seguinte:
Exemplo:
Exercício
CONSIDERE UM ACONTECIMENTO ALEATÓRIO
ACONTECIMENTOS
Num mp3 existe igual número de músicas de 4 estilos diferentes: Pop, Rock, Metal e Punk
Todos os mp3 possuem uma função chamada "SHUFFLE" em que é selecionada uma música de forma aleatória.
Sempre que começar uma nova musica o que poderá acontecer?
Ou seleciona uma música Pop ou Rock ou Metal ou Punk!
A ESTAS POSSIBILIDADES DA EXPERIÊNCIA CHAMA-SE
ESPAÇO AMOSTRAL
SUPONHA QUE O MP3 SELECIONA UMA NOVA MUSICA QUALQUER
Um acontecimento certo é que irá selecionar uma musica das 4 categorias anteriores!
Um acontecimento impossível é que nunca poderá ser selecionada uma música de estilo Pimba
O que é mais provavel? Que o Mp3 selecione uma musica Rock ou Punk?
É igualmente provavel por isso os acontecimentos dizem-se equiprovaveis!
"A probabilidade de sair o Ás é uma em cinco!"
AS DUAS FACES TEREM O MESMO VALOR
QUAL A PROBABILIDADE DE LHE CAIR UM PIANO EM CIMA?
QUAL O ESPAÇO AMOSTRAL?
1) Suponha que retira uma carta do seguinte conjunto de possibilidades.
Determine as seguintes probabilidades
a) P(Vermelha)
b) P(Espada)
c) P(carta maior que 2)
2) Suponha que se retiram duas cartas:
a) P(Vermelha + Preta)
b) P(Paus + Copas)
c) P(carta menor que 5)
EXERCÍCIO
No jogo scrable, a certa altura, um jogador tem as letras <a,r,o,m>.
Qual a probabilidade de ele escolher uma ordem aleatória para as letras e sair a palavra amor?
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