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Solución de un Sistema de 3x3

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by

Mario Landa Hernández

on 13 September 2013

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Transcript of Solución de un Sistema de 3x3

R1 (3) + R2 (-1)
R2 (3) + R3 (7)
MATEMÁTICAS III
SOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE
EL METODO DE GAUSS – JORDAN
2x-y+z=2
3x+y-2z=9
-x+2y+5z=-5
Observación:
El objetivo es obtener la "Diagonal Principal Unitaria", observamos que en el sistema, especificamente en la recta 3 tenemos el valor de -1 en la incónita de la "x", dividimos toda la recta entre -1 y lo tomaremos como "pivote" para comenzar.
Hemos llegado a la mitad del Método.
A lo que hemos llegado es al método de Gauss. Pero esto todavía continúa:

Conclusion
La solución al sistema es la siguiente
x= 2
Y= 1
z=-1
la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Gauss
Jordan
Tenemos el siguiente sistema lineal de 3x3
Lo siguiente es realizar lo que llamaremos la "Matriz aumentada", es organizar únicamente los coeficientes en columnas de incógnitas:
x y z I
1 -2 -5 5
3 1 -2 9
2 -1 1 2
Comencemos con las "operaciones auxiliarles" para obtener la diagonal principal unitaria.
3 -6 -15 15
-3 -1 2 -9
0 -7 -13 6
1 -2 -5 5
0 -7 -13 6
2 -1 1 2
x y z I
1
-2 4 10 -10
2 -1 1 2
0 3 11 -8
1 -2 -5 5
0 -7 -13 6
0 3 11 -8
x y z I
R1 (-2) + R3
0 -21 -39 18
0 21 77 -56
0 0 38 -38
Aquí se puede reducir términos. Para ello dividimos 38 y -38 entre su igual "38" para obtener valores pequeños: "1 y -1"
1 -2 -5 5
0 -7 -13 6
0 0 1 -1
x y z I
1 -2 -5 5
0 -7 -13 6
0 0 1 -1
x y z I
R3 (5) + R1
0 0 5 -5
1 -2 -5 5
1 -2 0 0
1 -2 0 0
0 -7 -13 6
0 0 1 -1
X y z I
R2 + R3 (13)
0 -7 -13 6
0 0 13 -13
0 -7 0 -7
1 -2 0 0
0 1 0 1
0 0 1 -1
Al igual en esta operación podemos simplificar resultados dividiéndolos entre su igual para obtener valores de 1 y 1
x y z I
R1 + R2 (2)
1 -2 0 0
0 2 0 2
1 0 0 2
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 -1
X Y Z I
¡Y por fin hemos terminado!
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 -1
X Y Z I
Sólo falta sustituir los valores y comprobar si la solución al sistema es Correcta
OPERACIONES
OPERACIONES
2(2)-(1)+(-1)=2
4-1-1=2
2=2
3(2)+1-2(-1)=9
6+1+2=9
9=9
-(2)+2(1)+(-1)=-5
-2+2-5=-5
-5=-5
C
O
M
P
R
O
B
A
C
I
Ó
N
C
O
R
R
E
C
T
A
Logramos obtener la Diagonal Principal Unitaria por el Método de Gauss-Jordan
LANDA HERNÁNDEZ MARIO ALEXIS
URIBE ALFREDO
INTEGRANTES:
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