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Stochastik

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by

Stefan Klötzer

on 16 February 2014

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Transcript of Stochastik

Stochastik
Eine Wiederholung
1. Zufallsexperimente
Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang mit mindestens 2 möglichen Ergebnissen. Welches Ergebnis eintritt, kann nicht vorhergesagt werden.
Definition:
Beispiel:
Würfeln mit einem Spielwürfel
Alle möglichen Ergebnisse bilden die
Ergebnismenge Ω
Beispiel
:
Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Jede Teilmenge einer Ergebnismenge heißt
Ereignis.
Beispiel:
Ereignis E= {"Würfeln einer geraden Zahl"}
E= {2; 4; 6}
Es gibt:
Das sichere Ereignis

-tritt auf jeden Fall ein
- P (Ω)=1
Das unmögliche Ereignis

-tritt niemals ein
- P( )=0


Das Gegenereignis

-beschreibt das Eintreten des Gegenteils von E
zB. Das Würfeln einer ungeraden Zahl

-es gilt P (E)+P ( )= 1
und somit P ( )= 1- P(E)
2. Laplace-Versuche
Definition
Laplace-Versuche sind Zufallsversuche, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
P=
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
n
Machtigkeit |Ω|, also die Anzahl aller
möglichen Ergebnisse
Beispiel
Werfen eines Würfels: P= 1/6
3. Permutationen
Beispiel
abc
acb
bac
bca
cab
cba
}
es gibt
3·2·1= 3! = 6
Möglichkeiten
zur Anordnung der 3
Elemente
sprich "drei Fakultät"
es gilt:

0!=1
1!=1
(n+1)!= n!·(n+1)
Definition
Jede Anordnung der n Elemente einer endlichen Menge nennt man eine Permutation dieser n Elemente.
4. Baumdiagramme
Beispiel
Eine Urne enthält 5 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es werden nacheinander und ohne zurücklegen 2 Kugeln gezogen.
s
s
s
w
w
w
5/8
3/8
4/7
3/7
5/7
2/7
Ergebnisse:
ss
sw
ws
ww
1. Pfadregel:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades.
P
P= 5/8 · 4/7 =
20/56
P= 5/8 · 3/7 =
15/56
P= 3/8 · 5/7 =
15/56
P= 3/8 · 2/7 =
6/56
2. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
Ereignis
A
: Erste gezogene Kugel ist weiß
A
A
P(A)= 15/56 + 6/56 = 21/56 =
0,375
Ereignis
B
: Beide Kugeln haben die gleiche Farbe
B
B
P(B)= 20/56 + 6/56 = 26/56 =
0,464
Der Unterschied: Ergebnis und Ereignis
Ergebnis:
Einzelne Elemente der Ergebnismenge

Ereignis:
Gruppe von Ergebnissen als Teilmenge
als Teilmenge der Ergebnismenge
1. Zufallsversuche
2. Laplace-Experimente
3. Permutationen
4. Baumdiagramme
5. Übungen
An einem "Abzweig"
muss die Summe der P's
immer 1 sein
Siehe Handout!
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