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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Conceptualización y aplicación de los SEL.
by

christian Guerrero

on 22 January 2014

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Transcript of Sistemas de Ecuaciones Lineales

¿Cómo funciona nuestro mundo?
Sistemas de Ecuaciones lineales
Resolución de SEL
Una solución de un sistema 2x2 es un par ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las ecuaciones del sistema.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conjunto solución del sistema.
Sistemas de Ecuaciones
Aclaración
El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3.

Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales. De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones no lineal.
Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemática, las ramas de administración de empresas, la ingeniería, etc. Espero que este módulo sirva de guía para que los estudiantes se inicien en la comprensión de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.
Justificación
Método de Eliminación por Adición y sustracción
Procedimiento:
Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los números correspondientes.
Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitución.
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables.
Sistemas de Ecuaciones
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
Sistemas de Ecuaciones
6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
Aclaración:
Este método es útil solo si podemos leer con precisión los puntos de intersección entre las gráficas. En la mayoría de los casos eso no es posible.
Procedimiento
Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas.
Construya la gráfica de cada ecuación.
MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Sistemas de Ecuaciones
En este módulo sólo trataremos los 4 primeros métodos para sistemas de ecuaciones 2x2.
- Método de sustitución
- Método de Igualación
- Método de Reducción (Suma y resta)
- Método gráfico
- Métodos de matrices
Regla de Cramer
Método de Gauss
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos,
Sistemas de Ecuaciones
Sumando las ecuaciones obtenemos,
Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
Las dos líneas son
paralelas, no tienen
puntos de intersección.
El conjunto de soluciones
es vacío.
2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.
Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos:
Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico
Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos:
Definición
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas.
Sistemas de Ecuaciones
Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
Sistemas de Ecuaciones
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Escogiendo la ecuación, , tenemos
¡A practicar!
Sistemas de Ecuaciones
El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas.
Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo:
Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.
Sumando las ecuaciones obtenemos,
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera
por 2 obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
Observación:
Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar
el método de sustitución.
Sustituyendo y = 1 en la ecuación,
Sistemas de Ecuaciones
Sustituyendo en la ecuación tenemos,
Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,
Sistemas de Ecuaciones
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
Sistemas de Ecuaciones
Falso
Sumando las ecuaciones obtenemos,
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
Cierto
Sumando las ecuaciones obtenemos,
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos
Escogiendo la ecuación, , tenemos
Ejemplos:
Resuelve usando el método de sustitución.
Sistemas de Ecuaciones
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
Prof. Christian Guerrero S.
El sistema es consistente definido
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