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DERIVADA Y DIFERENCIACIÓN

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Transcript of DERIVADA Y DIFERENCIACIÓN

cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2m^3/min hacia el interior de un depósito cuya forma es de un cono invertido de 16m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rapido sube el nivel del agua cuando ésta alcanzando 5m de profundidad? solucion paso 1 se definen las variables,primero t y despues las otras variables en t. t
h
r
v el número de minutos de tiempo que ha transcurrido desde que el agua comenzó a fluir dentro del tanque. el número de metros de la altura del nivel del agua a los t minutos. el número de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos. el número de metros cúbicos del volumen de agua en el tanque a los t minútos. Observe que V, r y h, son funciones de t. paso 2 paso 3 paso 4 paso 5 paso 6 puesto que el agua fluye dentro del tanque a una tasa de 2m^3/min, se desea determinar en cualquier tiempo, el volumen del agua en el tanque puede expresarse como el volumen de un como, como indica la figura 2. como se estableció en los pasos 2 y 3 se conoce dv/dt , y se desea determinar dh/dt. Por lo tanto,
se necesita una ecuacion que involucre a V y h. así, primero se expresa r en términos de h observando que, de los triangulos semejantes de la figura 2, se tiene Si se sustituye este valor r en (3), se obtiene Al diferenciar los dos miembros de esta ecuacion con respecto a t, resulta: Ahora se sustituye 2 por dV/dt y se resuelve la ecuacion para dh/dt , obteniéndose Al convertir metro a centimetros se tiene: 0.407 4m/min = 40.74 cm/min. Conclusión: El nivel del agua sube a una tasa de 40.74 cm/min cuando el agua ha alcanzado una profundidad de 5m.
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