Geometrie

(forma algebrică) (forma vectorială)

d1: y1=m1x+n1 v1(1, m1)

d2: y2=m2x+n2 v2(1, m2)

Din nou se obtine relatia m1/m2=1/1 rezulta m1=m2 .

RETINEM: d1 și d2 sunt paralele dacă ăi numai dacă m1=m2.

Și în acest caz este demonstrată echivalența între paralelism și coliniaritate.

Start

GEOMETRIE

Dista Denis

Dumitru Cristina

Maties Maria

Echipa Lenesilor

Reper cartezian, coordonate carteziene și distanta dintre doua puncte in plan.

Reper cartezian în plan.

Coordonate carteziene in plan

Distanța dinte doua puncte in plan

În geometrie nu există drumuri speciale pentru regi.

- Euclid

Un reper cartezian în plan este definit de o pereche ordonată formată din

două axe perpendiculare, având aceeaşi origine. Punctul O se numeşte originea

reperului.

Prima axă, notată Ox, se numeşte axa absciselor, iar a doua axă, notată Oy , se numeşte axa ordonatelor.

Notația uzuală pentru un reper cartezian

este xOy sau (O, i, j), unde i şi j sunt versorii (vectorii unitate) pentru axele

Ox, respectiv Oy

Avem două puncte, A( x1) și B(x2). Distanda dintre cele două puncte este dată de formula :

d( A, B)= |x2-x1|

Formula se obtine din propiretatea produsului scalar.

Sistemul de coordonate carteziene este folosit pentru a determina în mod unic un punct în plan prin două numere, numite de regulă abscisa și ordonata punctului și se foloseste sctiierea OM( x, y).

Coordonatele unui vector

in plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector si un numar real.

Ecuații ale dreptelor determinate de :

Două puncte

Un punct si o direcție dată

Coordonatele unui vector in plan.

Coordonatele produsului dintre un vector si un numar real.

Coordonatele unei sume vectoriale.

Fie A (x1, y1) și B( x2, y2) două puncte din planu și d dreapta determinată de acestea. Dreapta d este determinată de punctul A(x1, y1) și vectorul v=AB, de aici rezultă ecuația r=rA+gAB. De aici se obține relația (x-x1)/(x2-x1)= (y-y1)/(y2-y1) (ecuație carteziană obtinută din forma scalară a lui r) .

Reținem : Panta dreptei determinată de punctele A( x1, y1) și B( x2, y2) este data de formula mAB=(y2-y1)/(x2-x1) .

Fie M1(x1, y1) un pinct al planului P și v(a, b)-vector nenul- iar d dreapta determinata de cele doua elemente. Daca M(x, y) este un punct oarecare și este satisfăcută condiția ca M să aparțina dreptei d ( echivalent cu coliniaritatea vectorilor M1M și v) și rezulta ca exista un g apartine lui R si M1M=gv. Și avem doi vectori de poziție ( r și r1) ai punctelor M și M1, are loc egalitatea : r-r1=gv sau r=r1+gv ( ecuație vectoriala) .

v- vector director al dreptei d.

* de la ecuația vectoriala se pot afla celelalte forme de exprimare a ecuației dreptei d.

Fie v un vector în planul P raportat la reperul cartezian ,având ca reprezentant segmentul orientat AB,

unde A(x1, y1) şi B(x2, y2).

se obține că: AB = (x2i + y2j)-(x1i + y1j) = (x2-x1)i + (y2-y1)j.

x2 – x1 şi y2 – y1 reprezintă coordonatele vectorului v ) şi se scrie: v(x2-x1,y2-y1).

Fie v1 (a1, b1) şi v2 (a2, b2) doi vectori, și rezulta v1= a1i +b1j, v2 =a2i +b2j iar suma lor este v1 + v2 = (a1+a2)i+(b1+b2)j.

Vectorul sumă v1 +v2 are coordonatele (a1 +a2 , b1 +b2).

Această informație o putem generaliza : suna a n vectori este egală cu suma componentelor lor.

Un vector poate fi inmultit cu un numar real. Sa consideram un vector A si un numar real pozitiv, c . Multiplicarea vectoului A cu c se noteaza prin simbolul cA. Marimea vectorului cA este egala cu cA, iar directia si sensul sunt aceleasi cu directia si sensul vectorului A (Fig.6a). Daca numarul c este negativ, vectorul -cA are sens invers lui A

Dreapta in plan.Ecuații ale dreptei în plan

O dreaptă este determinată prin diferite condiții geometrice:

- doua puncte distincte;

- un punct și o direcție dată.

O relație între coordonatele x, y ale unui punct M(x, y) din plan care caracterizează apartenența acestuia dreptei d reprezinta ecuația dreptei d.

Bravo echipă!!

Conditii de perpendicularitate

Finish!

Observatii!

Se ște că măsura unghiului g a doi vectori u( u1, u2) și v( v1, v2) este dată de relația cos g= (u1v1+u2v2)/ [(radical din) (u1^2+u2^2)* (radical din) (v1^2+v2^2) ]

Condiții de paralelism

Paralelismul se demonstrează în functie de

forma dreptelor si vectorilor lor directi.

Sunt două metode pentru a arăta paralelismul a doua drepte, demonstrând că cei doi vectori

sunt coloniari.

Aria unei suprafețe triunghiulare

Distanța dintre două drepte paralele

Distanța de la un punc la o dreaptă

Metoda 1 ( ecuații complexe)

Distanta dintre două drepte paralele este egală cu distanța de la un punct al unei drepte la cealaltă dreaptă,

Metoda 2( ecuații simple)

Putem folosi metoda de calculare a distanței de la un punct la o dreaptă , pentru aflarea înaltimi. Avem triunchiul ABC cu vafrurile A(x1, y1), B(x2, y2) și

C(x3, y3) iar AM este distanța de la punctu A la dreapta BC. Se afla AM =|(x1(y3-y2)+y1(x2-x3)+x3y2-x2y3)/(radical din)[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2)] și AB este (y-y2)/

(y3-y2)=(x-x2)/(x3-x2) . Pentru aria suprafetei

triunghiului [ABC] se obține S[ABC]= 1/2*BC*h=

1/2*|x1(y3-y2)+x2(y1-y3)+x3(y2-y1)|.

Aria unei suprafețe poligonale convexe

Dreapta d cu ecuatia ax+by+c=0 și A(x0. y0) . Daca B(x1. y1) este proiecția punctului A pe dreapta d, distanța de la punctul A la dreaptă este egală cu modului vectorului AB, care este coliniar n(a, b), vector normal dreptei d și sie g masura unchiului vectorilor AB si n. Deoarece AB( x1-x0, y1-y0), folosind produsu scalar rezultă n*AB=|n|*|AB|* cos g. De aici rezulta

|AB|=( n*AB)/|n|* cos g. (cos g apartine {-1, 1} se obtine

|AB|=|(ax1+by1-ax0-by0)/(radical din)(a^2+b^2)|.

Dar B(x1, y1) se afla pe d si rezulta ax1+by1+c=0 și de aici rezulta

|AB|= (ax0+by0+c)/(radical din)(a^2+b^)|.

Asadar distanta D de la A(x0, y0) la dreapta cu ecuatia ax+by+c=0 este : D=|ax0+by0+c|/(radical din)( a^2+b^2).

OB!

1. Dacă d este paralela cu Ox, atunci y=c și D=|y0-c|.

2. Daca d este paralelă cu Oy, atunci x=c și D=|x0-c|.

3. Daca d are forma y=mx+n, atunci

D=|(mx0-y0+n)/(radical din) (1+m^2).

Folosind formula de la aria unei suprafețe triunghiulare se poate exprima aria oricărei suprafețe poligonale dar in functie de vârful poligonului care o mărginește.

S(P)=S[A1A2A3]+S[A1A3A4]+.....+S[A1A(n-1)An].

Metoda 1

(Suficiența )

Metoda 2 (Necesitatea)

(forma algebrică) (forma vectorială)

d1: a1x+b1y+c1=0 V1(-b1, a1)

d2: a2x+b2y0+c2=0 V2(-b2, a2)

Cele doua drepte sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor direcți sunt perpendiculari . De aici rezultă produsul lor scalar nul v1*v2=0, deci a1a2+b1b2=0.

Retinem: dreptete de ecuaății asemănătoare sunt perpediculare dacă și numai dacă a1a2+b1b2=0.

OB! cos g= (a1a2+b1b2)/[(radical din) (a1^2+bb1^2)* (radical din) (a2^2+b2^2) ].

(forma algebrică) (forma vectorială)

d1: y1=m1x+n1 v1(1, m1)

d2: y2=m2x+n2 v2(1, m2)

Produsul lor scalar este v1*v2= 1+m1*m2. Condiția de perpendiculatite m1*m2+1=0 sau m1*m2=-1.

Retinem : dreptele de acest tip sunt perpendiculare dacă și numai dacă m1*m2=-1.

OB! : cos g= (1+m1m2)/[(radical din) (1+m1^2)* (radical din) (1+m2^2) ].

(forma algebrică) ( forma vectorială)

d1: a1x+b1y+c1=0 V1(-b1, a1)

d2: a2x+b2y0+c2=0 V2(-b2, a2)

Cele doua puncte sunt coloniare și se obține relația a1/a2=b1/b2.

RETINEM : d1 și d2 sunt paralele dacă și numai dacă a1/a2=b1/b2.

Din cele două enunțuri rezultă că paralelismul îi echivalent cu coliniaritatea.

Calcule și distanțe de arii