AXIOMAS DE PEANO

AXIOMAS DE PEANO

OBRAS.

APORTES .

Giuseppe Peano

• Peano publicó su primer libro sobre lógica matemática. Este libro fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos.

• A partir de 1889 se dedica a estudiar la utilidad de la lógica en las matemáticas. En este mismo año publicó un artículo titulado "Exposición lógica de los principios de la geometría", en el que utiliza la simbología lógica para expresar los fundamentos de las matemáticas.

• En su publicación "Formulaire mathemátique" ( Forma matemática )analiza en profundidad la aritmética, la geometría, el cálculo infinitesimal y el vectorial, y la teoría de conjuntos.

• A partir de principios del siglo XX y hasta su muerte en Turín el 26 de abril de 1932, Peano se dedicó a una de sus grandes ideas: la creación de un idioma internacional. Expuso sus estudios sobre este tema en su obra "Latino sine flexione" (Latin sin flexiones), y se denominó a este nuevo idioma Latín sin flexiones, utilizando el título de la publicación, o Interlingua.

• Contribuyo en la Teoría de conjuntos, ya que fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos.
• Hizo avances en las áreas de análisis, fundamentos y lógica, realizó contribuciones a la enseñanza del cálculo y contribuyó en los campos de ecuaciones diferenciales y análisis vectorial.
• Su mayor contribución fue los axiomas los cuales definen de manera clara el conjunto de los números naturales.

• La obra crítica de Peano se extiende desde la Lógica hasta la Aritmética y la Geometría. Sobresale, con respecto a esta última, el Cálculo geométrico un sistema mínimo en los Elementos de cálculo geométrico(Turín, 1891). Con este último trabajo inicia el moderno cálculo vectorial, que se aplican en la mecánica, física matemática, y en algunas ramas de la matemática pura , como por ejemplo la geometría diferencial.

• Peano ( publicó en Turín su obra Arithmetices principia novamethodo exposita (Los principios de la Aritmética expuestos según un nuevo método) . En esta obra él caracterizó a los números naturales axiomáticamente y los que hoy llamados "axiomas de Peano"

• Destacan además, entre otras obras, Los principios de la geometría expuestas lógicamente (1889)lecciones de calculo (1893)y, por último, Aritmética general y álgebra elemental (1902).

• Nació el 27 de septiembre de 1858 en Cuneo (Italia).
• Fue un matemático y filósofo italiano.
• conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números.
• Ideó un sistema de axiomas para fundamentar la aritmética , especialmente el conjunto de los números naturales.
• Falleció de un ataque al corazón el 20 de abril de 1932 en Turín.

Los números naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas

AXIOMA DE PEANO.

1) 1 es un número natural.

2) Si a es un número natural, entonces a+1 también es un número natural (llamado sucesor de a).

3) 1 no es sucesor de ningún número natural.

4) Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

5) Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de uno de sus elementos entonces contiene todos los número naturales.

Definen el conjunto de los números naturales, no se preguntan por el significado de qué es un número natural, supone que existe y pretende encontrar un sistema simple de axiomas que caracterizan los números naturales y nos permite deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Teorema 6 ( Ley conmutativa de la adición)

Teorema 30 ( Ley distributiva de la multiplicación)

x(y +z) = xy +xz

Demostración:

Determinemos x y y, y sea N el conjunto de todos los z para los cuales la afirmación es verdadera.

I) x(y + 1) = xy+ = xy +x = xy +x1; por lo que 1 pertenece a M.

II) Si z pertenece a N, entonces

x(y +z) = xy +xz

luego

x(y +z+) = x((y +z)+)

= x(y +z) +x

= xy + (xz +x)

= xy +xz+.

Así que z+ pertenece a M. Por consiguiente, la afirmación es siempreverdadera.

Sin embargo ,Peano cambio los axiomas iniciales e incluyó como primer elemento al cero, los cuales son los siguientes.

1.El 0 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.

2.Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

3.El 0 no es el sucesor de algún número natural.

4.Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

5.Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

(x+y)=(y +x)

Demostración:

Determinemos Y, y sea N el conjunto de todos los X para los cuales la afirmación es verdadera:

I). Tenemos que: y+1 = y+, 1 + y = y+ luego 1+y= y+1, por lo que 1 pertenece a N.

II). Si x pertenece a N , entonces x+y = y+x por consiguiente

(x+y)+ = (y +x)+ = y +x+.

Apartir del teorema 4 tenemos que :

x+ + y = (x+y)+

de donde

x+ +y = y +x+

Así que x+ pertenece a N, entonces decimos que la afirmación es correcta