Lineárne nerovnice

Časti rovnice:

Časti nerovnice:

Obsahuje:

• ľavú stranu (ĽS),
• znamienko rovnosti (=),
• pravú stranu (PS).

Obsahuje:

• ľavú stranu (ĽS),
• znamienko nerovnosti (<, >, ≤, ≥),
• pravú stranu (PS).

Rovnice aj nerovnice na ĽS, PS

môžu mať výrazy:

• len číslené (4; -6,7; 1/5),
• len neznáme (x; b; q),
• kombinácia (4x; 5-a).

Koreň rovnice:

Koreň nerovnice:

Rovnice a nerovnice môžu mať:

• jedno riešenie,
• žiadne riešenie,
• nekonečne veľa riešení.

Koreňom rovnice je:

• číslo:

napr.: x = - 4

riešením je číslo -4

Koreňom nerovnice je:

• interval:

napr.: výsledok x > - 3

zapíšeme: x patrí do intervalu (-3; ∞)

riešením sú všetky čísla väčšia ako -3

Skúška spr. - nerovnice:

Skúška spr. - rovnice:

Skúška správnosti prebieha:

• vypočítaný koreň rovnice dosadíme do ĽS a PS;

• po výpočte musí platiť ĽS=PS.

Skúška správnosti prebieha:

• do ĽS a PS nerovnice dosadíme ľubovoľné číslo, ktoré patrí do vypočítaného intervalu;

• po výpočte musí platiť nerovnosť pôvodnej nerovnice.

1. Výmena pravej a ľavej strany nerovnice

Pri výmene pravej a ľavej strany nerovnice musíme zároveň OBRÁTIŤ znamienko nerovnosti.

Napr.: nerovnica 2 > a

po výmene ĽS a PS a < 2

Význam to má, keď chceme nerovnicu upraviť do tvaru, v ktorom je neznáma na ľavej strane a číslo na pravej strane.

2. Pripočítanie/odpočítanie čísla, výrazu

K obom stranám nerovnice vieme pripočítať/odpočítať to isté číslo alebo výraz. Znamienko nerovnosti sa nemení.

Napr.: nerovnica x - 2 ≥ 6

po pripočítaní čísla 2 x ≥ 6 + 2

Napr.: nerovnica 7 + 5x ≥ 6x

po odpočítaní výrazu 5x 7 ≥ 6x - 5x

3. Násobenie/delenie kaladným číslom, výrazom

Obe strany nerovnice môžeme vynásobiť/vydeliť tým istým kladným číslom alebo výrazom. Znamienko nerovnosti sa nemení.

Napr.: nerovnica (x-4)/3x < 5

po vynásobení výrazom 3x x-4 < 5.3x

Napr.: nerovnica 150x - 40 > 300x

po vydelení číslom 10 15x - 4 > 30x

4.Násobenie/delenie záporným číslom, výrazom

Obe strany nerovnice môžeme vynásobiť/vydeliť tým istým záporným číslom alebo výrazom. Znamienko nerovnosti sa OBRÁTI.

Napr.: nerovnica (x+5)/-2x < 5

po vynásobení výrazom -2x x+5 > 5.(-2x)

Napr.: nerovnica -150x - 40 < -300

po vydelení číslom -10 15x + 4 > 30

Výpočet:

zadaná je nerovnica 2x + 8 ≥ 6

1. pomocou ekvivalentých úprav zjednodušíme nerovnicu na tvar, že na jednej strane (väščinou na ľavej) bude neznáma a na druhej strane bude číslo.

Odpočítame číslo 8 od obidvoch strán nerovnice

2x + 8 ≥ 6 / -8

2x ≥ 6 - 8

2x ≥ - 2

2. vyjadríme neznámu (vydelením oboch strán nerovnice číslom pri neznámej).

Pri neznámej je číslo +2, takže obe strany vydelím číslom dva

2x ≥ - 2 / :2

x ≥ - 1

Zápis výsledku:

výsledok výpočtu je x ≥ -1

1. zápis pomocou intervalu:

• dôležité je uvedomiť si krajné body intervalu (jedným bude - ∞ alebo +∞; druhým bude konkrétne číslo);
• podľa znamienka nerovnosti určíme, či krajný bod (číslo) patrí (≤, ≥) alebo nepatrí (<, >) do intervalu - podľa toho použijeme intervalové zátvorky

Výsledok výpočtu x ≥ -1 označuje všetky čísla rovné a väčšie ako -1, čo zapíšeme ako interval: x = < -1; ∞)

2. zápis na číselnej osi:

• krajný bod intervalu určený číslom označujeme na číslenje osi guličkou - ak krajný bod do intervalu partí je plná, ak nepatrí je prázdna.

Výsledok výpočtu x ≥ -1 na číselnej osi zaznačíme takto:

Výpočet:

zadaná bola nerovnica 2x + 8 ≥ 6 výsledok x ≥ -1

Rozmýšľaj:

• Aké číslo by si zvolil/a pre vyriešenú nerovnicu?
• Skús spraviť skúšku správnosti.

Do intervalu riešenia danej nerovnice patria všetky čísla rovné a väčšie ako -1.

Dobre sa počíta napr. s číslom 1. Toto číslo dosadím za NEZNÁMU do ĽS a PS:

ĽS: 2.1 + 8 = 2 + 8 = 10

PS: 6

10 ≥ 6 takže platí, že ĽS ≥ PS (rovnako ako v zadaní nerovnice)

Rozmýšľaj:

• Bol by výsledok skúšky správnosti iný, keby sme dosadili číslo 0?
• Mohli sme dosadiť číslo -1?