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Funciones Elementales
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Funciones Elementales
Función Algebraica
Es una función que puede ser expresada en términos de una secuencia infinita de operaciones algebraicas
Función Algebraica
Función Polinómica
Estas funciones son aquellas que están definidas por un polinomio.
Las que estudiaremos y representaremos serán las de:
- Grado 0: Función Constante
- Grado 1: Función Afín y Lineal
- Grado 2: Función Cuadrática
Función Polinómica
Función Constante
Estas funciones son de grado 0, y no dependen de la variable independiente, x.
Función Constante
Se representa por una recta paralela al eje OX, y que corta el eje OY en el punto: (0, a)
Ejemplo:
Representa la función:
El punto de corte con el eje OY sería: (0, 3)
Una vez ubicado el punto en el eje de coordenadas, sólo debemos hacer una recta paralela al eje OX en ese punto.
Función Afín y Lineal
Estas funciones son polinómicas de grado 1.
Función Lineal y Afín
Estas funciones presentan 2 parámetros:
- m, que es la pendiente de la recta.
Si m > 0 la función es creciente, y si m < 0 es decreciente.
- n, es la ordenada en el origen. Nos indica el punto de corte con el eje OY, que será: (0, n)
Función Afín y Lineal - Representación
Hay varias métodos para poder representar este tipo de funciones. Elije la que prefieras.
Método 1: Calculando los puntos de cortes con los ejes (aunque no es válido para la función lineal, donde n = 0)
Representación
Método 2: Tabla de valores con dos valores.
Método 3: Con ayuda de la pendiente, m, y la ordenada en el origen, n.
Primero colocamos el punto (0, n), y luego con ayuda de la pendiente conseguimos el siguiente punto.
Ver vídeo. Aunque lo explico en los ejemplos.
Función Afín y Lineal - Ejemplo
Ejemplo: Representar la función lineal, f(x) = 3x
Ejemplo
Es lineal porque n = 0, y es creciente porque
m = 3 > 0. Voy a representarla por el método 3.
- Con ayuda de n, coloco el punto: (0, n) = (0, 0)
- Pongo m en forma de fracción: m = 3/1
- La pendiente, m, nos dice que nos movemos 1 puesto a la derecha, y que debemos subir tres puestos, partiendo del punto (0, 0). Si seguimos estas instrucciones llegaríamos el punto (1, 3).
- Hacemos una recta que pase por los dos puntos.
Función Cuadrática
Función Cuadrática
Función Racional
Nosotros trataremos con un caso concreto, las llamadas de proporcionalidad inversa, que son del tipo:
Función Racional
Función Racional - Representación
Para representar las funciones de proporcionalidad inversa, debemos de realizar dos pasos:
- Detectar las dos asíntotas.
- Realizar una tabla de valores a la derecha e izquierda de la asíntota vertical.
Representación
Función Racional - Asíntotas
Observamos los valores de b y c.
- La asíntota vertical (AV) será aquella que anule el denominador, donde no está definida la función.
En el caso general, la AV sería: x = b.
En la función representada, la AV será: x = 4
- La asíntota horizontal (AH) nos lo indica el término independiente c.
En este caso general sería: y = c
En la función representada será: y = -2
¿Cómo se calcula las asíntotas?
Función Racional - Ejemplo
Vamos a representar la función dada:
Calculamos la AH, con ayuda del término independiente:
AH es: y = 1
La AV es donde se anula el denominador, es decir, cuando: x + 2 = 0. Por tanto,
AV será: x = -2
Ejemplo
Solo nos falta realizar una tabla de valores alrededor de la AV de manera simétrica, podríamos escoger los valores:
por la izquierda: -5, -4, -3
y por la derecha: -1, 0, 1
Función Racional - Características
Características
Este función coincide en las siguientes características según los parámetros de a, b y c.
- Dominio es todo R salvo cuando se anula el denominador, por lo tanto:
Dom f(x) = R\{b}
- El recorrido no está definido en su AH, por lo tanto:
Im f = R\{c}
- Discontinua en x = b (AV), de salto infinito.
- Continua en su dominio.
- Si a > 0 es decreciente en su dominio y sino es creciente.
- Tiene dos asíntotas en x = b e y = c.
No tiene extremos relativos, no tiene ptos de inflexión, simetría, ...
Función Irracional
Una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo radical.
Función Irracional
Función Irracional - Representación
Para representar las funciones irracionales, debemos de realizar los siguientes pasos:
- Calcular el dominio.
- Realizar una tabla de valores.
Representación
Función Irracional - Dominio
Definimos el dominio de una función como el conjunto de valores de la variable independiente para los que se puede calcular el valor de la variable y.
Las raíces pares no están definidas para valores negativos, por eso, debemos calcular los valores donde el argumento de la raíz es mayor o igual a 0.
Ejemplo: Calcular el dominio de la siguiente función:
¿Cómo se calcula el dominio?
Función Irracional - Ejemplo
Vamos a representar la función dada:
Se calcula el domino (mirar el paso anterior).
Ejemplo
Se realiza una tabla de valores a partir del extremo cerrado del dominio, por ejemplo los valores:
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Función Racional - Características
Características
Este función coincide en las siguientes características según los parámetros de a, b y c.
- Dominio es todo R salvo cuando se anula el denominador, por lo tanto:
Dom f(x) = R\{b}
- El recorrido no está definido en su AH, por lo tanto:
Im f = R\{c}
- Discontinua en x = b (AV), de salto infinito.
- Continua en su dominio.
- Si a > 0 es decreciente en su dominio y sino es creciente.
- Tiene dos asíntotas en x = b e y = c.
No tiene extremos relativos, no tiene ptos de inflexión, simetría, ...
Función Trascendente
Es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes
sean a su vez polinomios
Función Tracesdente
Función Trigonométrica
Por estas no tienen por qué preocuparse.
Función Trigonométrica
Función Logarítmica
Una función es logarítmica si la variable independiente está en el argumento de un logaritmo. Y es la inversa de la función exponencial.
Función Logarítmica
Función Logarítmica - Representación
Para representar las funciones de proporcionalidad inversa, debemos de realizar los siguientes pasos:
- Calcular el dominio.
- Detectar la asíntota vertical.
- Realizar una tabla de valores a la derecha o izquierda de la asíntota vertical dependiendo del dominio.
Representación
Función Racional - Asíntotas
Observamos los valores de b y c.
- La asíntota vertical (AV) será aquella que anule el denominador, donde no está definida la función.
En el caso general, la AV sería: x = b.
En la función representada, la AV será: x = 4
- La asíntota horizontal (AH) nos lo indica el término independiente c.
En este caso general sería: y = c
En la función representada será: y = -2
¿Cómo se calcula la asíntota?
Función Logarítmica - Ejemplo
Vamos a representar la función dada.
Calculamos el dominio:
Ejemplo
Representamos la AV, x = -1.
Se realiza una tabla de valores a partir de la AV, por ejemplo los valores:
-0.75, -0.5, -0.25, 0, 1, 2
Función Racional - Características
Características
Este función coincide en las siguientes características según los parámetros de a, b y c.
- Dominio es cuando el argumento del logaritmo es positivo:
Dom f(x) = [b, +inf)
- El recorrido es todo R:
Im f = R\{c}
- Continua en su dominio.
- Pasa por el punto (c + 1, b)
- Si a > 1 es creciente y convexa en su dominio y es decreciente y cóncava si 0 < a < 1.
- No tiene extremos relativos, ni puntos de inflexión, no es simétrica, ...
Función Exponencial
Una función es exponencial si la variable independiente está en el exponente.
Función Exponencial
Función Exponencial - Representación
Para representar las funciones de proporcionalidad inversa, debemos de realizar dos pasos:
- Detectar la asíntota horizontal.
- Marcar el punto (b, c+1)
- Realizar una tabla de valores simétricos al punto hallado anteriormente.
Representación
Función Racional - Asíntotas
Observamos los valores de b y c.
- La asíntota vertical (AV) será aquella que anule el denominador, donde no está definida la función.
En el caso general, la AV sería: x = b.
En la función representada, la AV será: x = 4
- La asíntota horizontal (AH) nos lo indica el término independiente c.
En este caso general sería: y = c
En la función representada será: y = -2
¿Cómo se calcula la asíntota?
Función Exponencial - Ejemplo
Vamos a representar la función dada:
Calculamos la AH, con ayuda del término independiente:
AH es: y = 2
Calculamos el corte con el eje OY que es: (b, c+1)
(0, 3)
Ejemplo
Solo nos falta realizar una tabla de valores alrededor del eje OY, podríamos escoger, por ejemplo, los valores:
por la izquierda: -2, -1
y por la derecha: 1, 2, 3, 4
Función Exponencial - Características
Este función coincide en las siguientes características según los parámetros de a, b y c.
- Dominio es todo R.
- Continua en su dominio.
- Tiene una AH en y = c.
- Si a > 1 es creciente en su dominio y para 0 < x < 1 es creciente.
- Son siempre cóncavas.
- No tiene extremos relativos,
ni puntos de inflexión,
no es simétrica, ...