M.M.C

O QUE É?

É O MENOR MÚLTIPLO COMUM

de dois ou mais números naturais diferentes de zero.

Estudaremos dois processos práticos:

• Decomposição em fatores primos;

• Decomposição Simultânea.

Devemos realizar os seguintes passos:

1°) Decompomos os números em fatores primos;

2º) Multiplicamos os fatores comuns e não comuns, pegando apenas o que tem MAIOR EXPOENTE de cada um deles.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Exemplo:

1) Utilizando a decomposição em fatores primos, determine o M.M.C dos seguintes números:

a) 12, 20 e 24. b) 15, 30 e 60

12 I 2

6 I 2

3 I 3

1

20 I 2

10 I 2

5 I 5

1

a) 12, 20 e 24.

1 ° Passo: Decompor! 2° Passo: Multiplicar os Fatores Comuns e não

comuns, cada um com seu maior expoente.

24 I 2

12 I 2

6 I 2

3 I 3

1

12 = 2². 3¹

20 = 2² . 5¹

24 = 2³ . 3¹

Quais são os fatores comuns e não comuns?

2, 3 e 5

Quais os maiores expoentes deles?

3 , 1 e 1

mmc (12,20 e 24) =

2³ . 3¹ . 5¹ =

8 . 3 . 5 =

120

15 I 3

5 I 5

1

30 I 2

15 I 3

5 I 5

1

b) 15, 30 e 60.

1 ° Passo: Decompor! 2° Passo: Multiplicar os Fatores Comuns e não

comuns, cada um com seu maior expoente.

60 I 2

30 I 2

15 I 3

5 I 5

1

15 = 3¹ . 5¹

30 = 2¹. 3¹ . 5¹

60 = 2² . 3¹ . 5¹

Quais são os fatores comuns e não comuns?

2, 3 e 5

Quais os maiores expoentes deles?

2 , 1 e 1

mmc (15, 30 e 60) =

2² . 3¹ . 5¹ =

4 . 3 . 5 =

60

"É IMPORTANTE PRATICAR!"

QUESTÃO 01. Determine, pela decomposição em fatores primos, o mmc de:

a) 36, 54 e 90 b)240, 264 e 40

QUESTÃO 02. Sabendo que M= 2³ . 3, Ã = 3. 5. 7, E = 2² . 5. 7, S = 3. 5. Faça o que se pede:

a) Determine o valor de M, Ã, E e S;

b) Os números que são representados pelas inicias da palavra MÃES são considerados que tipo de número? Justifique sua resposta.

c) Calcule o mmc de:

• (M, Ã);
• (Ã, E);
• (E. S);
• (M.Ã, E, S)

2° Processo Prático:

• Decomposição Simultânea.

Devemos realizar os seguintes passos:

1°) Decompomos SIMULTANEAMENTE os números dados em fatores primos;

2º) Multiplicamos todos os fatores primos obtidos.

DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Exemplo:

1) Utilizando a decomposição simultânea, determine o M.M.C dos seguintes números:

a) 24 e 30 . b) 36, 60 e 90

a) 24 e 30.

1 ° Passo: Decompor Simultaneamente! 2° Passo: Multiplicar Todos Os Fatores Obtidos.

24, 30 I 2

12, 15 I 2

6, 15 I 2

3, 15 I 3

1, 5 I 5

1, 1

mmc (24 e 30) =

2³ . 3¹ . 5¹ =

8 . 3 . 5 =

120

a) 36, 60 e 90.

1 ° Passo: Decompor Simultaneamente! 2° Passo: Multiplicar Todos Os Fatores Obtidos.

36, 60, 90 I 2

18, 30, 45 I 2

9, 15, 45 I 3

3, 5, 15 I 3

1, 5, 5 I 5

1, 1, 1

mmc (36, 60 e 90) =

2² . 3² . 5¹ =

4 . 9 . 5 =

180

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

1°) O mmc de dois ou mais números primos entre si é o produto obtido entre eles.

2º) Dados dois ou mais números naturais, diferentes de zero, se o maior deles for múltiplos do(s) outro(s), será o mmc desses números.

3°)Se multiplicarmos ou dividirmos dois ou mais números naturais por um certo número , diferente de zero, seu mmc deverá ser multiplicado ou dividido por esse número.

DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

OBSERVAÇÃO 1: OBSERVAÇÃO 2:

7, 16 I 2

7, 8 I 2

7, 4 I 2

7, 2 I 2

7, 1 I 7

1, 1

mmc (7, 16) = 7. 16 = 42

10, 20, 40 I 2

5, 10, 20 I 2

5, 5, 10 I 2

5, 5, 5 I 5

1, 1, 1

mmc (10,20, 40) = 40

Observação 3:

Determine o mmc (12,15) e o mmc (36,45):

12, 15 I 2

6, 15 I 2

3, 15 I 3

1, 5 I 5

1, 1

mmc (12, 15) = 60

36, 45 I 2

18,15 I 2

9, 15 I 3

3, 5 I 3

1, 5 I 5

1, 1

mmc(36, 45) = 180

Se (12, 15). 3 = (36, 45). Então, temos que:

O mmc ( 36,45) = 3. mmc(12,15) = 3 . 60 = 180

"É IMPORTANTE PRATICAR!"

QUESTÃO 01. Determine, pela decomposição simultânea , o mmc de:

a) 35, 75 e 90 b)200, 240 e 20

QUESTÃO 02. Sabendo que A= 80, M = 45 , O = 100, R = 50, faça o que se pede:

a) Determine a forma fatorada de A, M, O, R;

b) Calcule o mmc de:

• (A, M);
• (O, E);
• (O. R);
• (A, M, O, R)

QUESTÃO 3. Sendo que o mmc (30, 40) = 120, determine o valor do:

a) mmc (15, 20) b) mmc (90, 120) c) mmc (180, 240)