Mappa concettuale sulle funzioni

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Classificazione

SE y=f(x) contiene solo le 4 operazioni, potenze e radici, la funzione è detta algebrica, altrimenti è definita trascendente.

Dominio naturale

Algebriche e trascendenti

Pari e dispari

Il dominio è l'intervallo di valori di x che fanno esistere y.

In una razionale intera, il dominio è R, in una fratta è R - i valori che annullano il denominatore.

In una irrazionale, se l'indice è pari, il dominio è A(x)≥ di 0, se l'indice è dispari, D racchiude tutti i valori per cui il radicando esiste.

Funzioni iniettive e suriettive

Le funzioni algebriche possono essere razionali e irrazionali:

-Le razionali a loro volta si dividono in intere e fratte. Le intere possono essere lineari o quadratiche;

-le irrazionali sono quelle con la variabile indipendente (x) sotto radice.

Le funzioni trascendenti si dividono il goniometriche, logaritmiche e esponenziali.

Una funzione y=f(x) è pari se f(x)=f(-x), ed è dispari e f(-x)=-f(x).

Una funzione pari non è necessariamente dispari e viceversa.

Funzioni a tratti

Una funzione è iniettiva se ogni elemento di B è immagine al massimo di un elemento di A.

Una funzione è suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A

Trasformazioni

Lo zero di una funzione è quel punto nel grafico in cui la funzione interseca l'asse delle x, ossia quel valore di x per cui y=o. Studiare il segno di una funzione significa determinare per quali valori la funzione è positiva e per quali è negativa

Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca i punti dello stesso piano

Sono definite a tratti le funzioni che variano a seconda del valore attribuito alla x.

Anche le funzioni in modulo sono dette a tratti.

Queste funzioni sono rappresentate con un sistema.

Una funzione si dice periodica se esiste un valore T>0 tale che f(x)=f(x+kT)

Quando una funzione è sia iniettiva che suriettiva, cioè ogni elemeno di B è immagine di uno e un solo elemento di A, è detta biunivoca. Data la funzione biunivoca y=2x-1, la sua inversa sarà x=(y+1)/2, in quanto, se y=f(x), allora x=f^-1(y)

Altre proprietà

Funzione crescente quando f(x1)<f(x2)

Funzione decrescente quando f(x1)>f(x2)

Funzione monotona quando per qualsiasi x rimane crescente o decrescente

Due forme di funzioni

Forma implicita

F(x;y)=0

Forma esplicita

y=f(x)

y-2x+1=0

y=2x-1

Funzioni composte

Date due funzioni

f e g, le componiamo in una terza funzione fg detta composta

Mappa concettuale

sulle funzioni

Date f:A->B e g:B->C,

la composta è fg:A->C

Cos'è una funzione?

Una funzione è una relazione fra due insiemi, A e B, in cui a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento di B

A

Si dice che A è l'insieme di partenza della funzione, mentre B è l'insieme di arrivo.

y=f(x)

y è detta immagine di x, mentra x è detta controimmagine di y.

B

Tipi di trasformazioni

Presented by

Massimo Ciambrone

C

L'insieme A è chiamato "dominio" o D, l'insieme B è chiamato "codominio". Nel codominio si trova l'insieme immagine (Im), che contiene le immagini di A.

Ci sono più tipi di trasformazioni, ma noi conosciamo la traslazione, la simmetria, e la dilatazione.

Queste trasformazioni sono dette isometrie in quanto conservano le misure e le distanze originali.