Решение логических задач

Понятие "Логика"

Слова «логика» означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин «логика» происходит от древнегреческого «logos», означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение закон». Логика - одна из древнейших наук.

Логика появилась примерно в 4 веке до н.э. в Древней Греции, её создателем считается Аристотель, Аристотелевская, или традиционная логика для анализа правильного мышления использует естественный язык, а символическая логика, появившаяся в 19 веке, пользуется искусственным языком символов, подобным языку математики.

Понятие "Математическая логика"

В 19 веке Джордж Буль и Август де Морган основали математическую логику, независимую от философии.

Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг. ) Разработал алгебру логики «Исследования законов мышления» (1854), основу функционирования цифровых компьютеров.

Он применил к логике методы современной ему алгебры - язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра - алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.) , английского - У. Джевонса (1835-1882 гг.) , американского - Ч. Пирса и др. Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики.

Метод рассуждений

В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача. В велогонке Дима, Саша, Андрей и Вася заняли со второго по пятое места. Саша обогнал Диму на 39 с, но отстал от Васи на 41 с. Андрей был впереди Васи на 12 с, но отстал от победителя на 13 с. В каком порядке финишировали мальчики и с каким отставанием от победителя?.

Решение: Проиллюстрируем условие задачи с помощью рисунка. В соревнованиях участвовали Дима, Саша, Андрей и Вася. Кроме них в задачи говорилось о «победителе». Отметим точками каждого из участников:

Д С П

В А

Если один из участников отстал от другого, будем на рисунке ставить стрелку от одного к другому и указывать время отставания. В задаче сказано, что «Саша обогнал Диму на 39 с». Это значит, что Дима отстал от Саши на 39 с. Саша отстал от Васи на 41 с. Андрей был впереди Васи 12 с, значит Вася отстал от Андрея на 12 с, и Андрей отстал от победителя на 13 с:

Д 39 с С П

41 с 13 с

В 12 с А

По рисунку видно, что первым финишировал Андрей, отстав от победителя на 13 с, за ним Вася – отстав от победителя на (13с + 12с)=25 с. Затем финишировал Саша с отставанием 25 с + 41 с = 66 с = 1 мин 6с. И последним был Дима, отставший от победителя на 1 мин 6 с + 39 с = 1 мин 45 с.

Метод таблиц

Основной прием, который используется при решение текстовых логических задач, заключается в построение таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или её ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задач.

Задача. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение. Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов (буквами К, З и С обозначены красный, зеленый и синий цвета). Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Ставим знак + в клетку 2-й строки и 5-го столбца, и знак - в клетку 2-й строки и 2-го столбца. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными. Отметим все это в таблице (см. табл. 1).

Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком – . Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл.1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета

Таблица №1.

Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавливаются цвета туфель и рубашек клоунов (см. табл. 2): Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Таблица №2.

Ответ: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.етод таблиц

Метод графов

Метод графов уже требует определенных знаний и навыков. Прежде чем перейти к решению задачи ответим на простой вопрос: «А что такое граф?».

Графом называется способ представления, при котором объекты изображаются точками, а связи между ними линиями или стрелками. Примером графа может служить схема метро. Точки называются вершинами графа, а линии – ребрами.

Решение задач этим методом заключается в построении графа по условию задачи: дело нелегкое, но интересное.

Задача. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», — заметил черноволосый. «Ты прав», — сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

Решение. Сначала все условия наносятся на схему. Решение же сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (рис.2.).

Белов Чернов Рыжов

скульптор скрипач художник

белый черный рыжий

Художник- черноволосый

При решении мы можем получить треугольники трех видов:

а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);

б) одна сторона – сплошной отрезок, а другие – штриховые;

в) все стороны – штриховые отрезки.

Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок.

Метод блок-схем

Задача. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение. Оформим решение в виде блок схемы:

​Ответ: 18 вариантов.

Метод кругов Эйлера

Этот метод является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Разберем пример применения данного метода.

​Задача:

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 — и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера

На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М — школьников, собирающих марки.

Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, — школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.

Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).

Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки — 16 школьников, то только значки собирают 23 — 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 — 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.

Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 — 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.

​

Истинностные задачи

Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.

​Задача. Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое — нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля — правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.

​

Задачи, решаемые с конца

Есть такой вид логических задач, которые решаются с конца. Рассмотрим пример решения таких задач.

Задача. Вася задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое чило задумал Вася.

Решение: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Ответ: Вася задумал число 10.

Решение с помощью рассуждений

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Задача.

В деле об убийстве имеются два подозреваемых: X и Y. Допросили четырёх свидетелей.

Показания первого свидетеля: «X не виноват».

Показания второго свидетеля: «Y не виноват».

Показания третьего свидетеля: «Из двух показаний по крайней мере одно истинное».

Показания четвёртого свидетеля: «Показания третьего свидетеля ложные».

Четвёртый свидетель оказался прав. Кто же совершил убийство?

Раз показания 3-го свидетеля ложны, то истинным будет следующее утверждение: «Не верно, что из двух показаний по крайней мере одно истинно». Т.е., ни одно из показаний первых двух свидетелей не является истинным. Следовательно, виновны и Х, и Y.

Решение средствами алгебры логики

Обычно для решение логических задач средствами алгебры логики используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении

При решении логических задач можно использовать компьютерные логические модели. Создадим компьютерную модель на языке VB , которая позволит составить расписание уроков для учителей математики, физики и информатики.

Задача на составление расписание уроков.

Учитель математики просит поставить ему первый или второй урок, учитель информатики – первый или третий, а учитель физики – второй или третий уроки. Какие и сколько вариантов расписания можно оставить, учитывая пожелания учителя?

Поместить на форму кнопку «Создать расписание» и создать событийную процедуру, определяющую истинность логического выражения и печатающую на форме значения логических аргументов, при которых истинность достигается:

Private Sub cоmmand1_Click ( )

For M1 = -1 To 0

For M2 = -1 To 0

For I1 = -1 To 0

For I3 = -1 To 0

For F1 = -1 To 0

For F3 = -1 To 0

If (M1 Or M2) And (I1 Or I3) And (F2 Or F3)

And (Not M1 Or Not M2) And (Not I1 Or Not I3)

And (Not F2 Or Not F3) And (Not M1 Or Not I1)

And ( Not M2 Or Not F2) And (Not I2 Or Not F3))

= -1

Then frm1. Print – M1; -M2; -I1; -I3; -F2-F3

Next F3

Next F2

Next I3

Next I1

Next M2

Next M1

End Sub

Задачи типа "Кто есть кто?" (метод графов)

Задачи типа «Кто есть кто?» - это самые что ни на есть логические задачи. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.

Один из способов решения задач типа «Кто есть кто?» - метод графов.

Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в этом случае граф называется ориентированным).

Рассмотрим метод графов на примере решения задачи.

Задача “Любимые мультфильмы”

Жила-была одна дружная семья: мама, папа и сын. Они все любили делать вместе. Но вот мультфильмы любили разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Покемоны» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам?

Решение.

Рассмотрим множество людей: мама, папа, сын и множество мультфильмов «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Обозначим элементы этих двух множеств точками:

Если точке из одного множества соответствует точка другого множества, будем соединять эти точки сплошной линией, если не соответствует – то штриховой.

Заметим, что по условию задачи у человека только один любимый мультфильм.

Учитывая данные задачи, получаем следующую схему:

Из условия задачи следует, что нужно найти единственно возможное соответствие между элементами двух множеств.

Правило: если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с третьей точкой она должна быть соединена сплошной.

Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Теперь мы установили, что папа любит мультфильм «Ну, погоди!», сын – «Покемоны». В обеих множествах остается только по одной точке, следовательно мама любит мультфильм «Том и Джерри». Задача решена.

Решение логических задач табличным способом

Вся наша жизнь — это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Назначение задач, собранных в этом разделе,— тренировка умения мыслить логически. Среди других «крепостей царства смекалки» логические задачи стоят особняком. С одной стороны, они отличаются от обычных задач-загадок тем, что в них нет никакой игры слов, нет попыток ввести читателя в заблуждение.

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Рассмотрим способ решения сразу на конкретной задаче

В симфонической группе играют на: скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что:

Смит самый высокий;

играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:

скрипка Флейта альт кларнет гобой труба

Браун 0 0 1 1 0 0

Смит 0 0 0

Вессон 0 0

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.

Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями:

Скрипка Флейта альт кларнет гобой труба

Браун 0 0 1 1 0 0

Смит 0 0 0 0

Вессон 1 0 0 0 0 1

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.

скрипка Флейта альт кларнет гобой труба

Браун 0 0 1 1 0 0

Смит 0 1 0 0 1 0

Вессон 1 0 0 0 0 1

Заключение

В ходе исследовательской работы, поставленные нами цели и задачи считаем выполненными. В первой главе мы ознакомились с понятием логики, как науки, основными этапами её развития и учеными, которые являются её основоположниками. Во-второй главе мы изучили различные методы решения логических задач и разобрали их на конкретных примерах. Далее нами были рассмотрены следующие методы решения логических задач: метод рассуждений, метод средствами алгебры логики, метод графов, табличный метод.

Исходя из исследовательской работы, можно сделать вывод о том, что логические задачи помогают развивать логическое и образное мышление. У любого нормального человека есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности людей так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для них мы и предлагаем применять логические задачи. Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению. Также мы считаем, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и в повседневной жизни, поэтому умение их решать просто необходимо.

Литература:

1.Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //

2. Математика. -1999. № 26. - С. 27-29.

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук –Москва,: 1948г

Интернет-ресурсы:

http://wiki.iteach.ru

http://nsportal/ru/ap

http://festival.1sehtember.ru

http://dic.academic.ru

http://bibliofond.ru

http://tolkslovar.ru