Cosmologia

Con “Cosmologia” si intende la scienza che studia il funzionamento dell’universo dalla sua creazione, non tenendo in considerazione i singoli moti.

Tutti i modelli cosmologici si basano su un principio. Questo principio presuppone attraverso l’osservazione che l’universo sia omogeneo e isotropo, quindi con una struttura uguale in tutte le direzioni, e viene chiamato principio cosmologico.

In equazione viene scritto come ds2=dt2-a(t)dl2 in cui dt2 è la componente temporale, a(t) il fattore di scala e dl2 la componente spaziale.

In particolare, il fattore di scala ha la funzione di descrivere l’espansione dell’universo nel tempo.

Quando si analizza la cosmologia è inoltre importante sapere che non si sta parlando semplicemente di spazio, ma bensì di spaziotempo.

Lo spaziotempo è la struttura cosmica (introdotta con la relatività) in quattro dimensioni, tre dello spazio e una del tempo.

Principio Cosmologico

Equazione della teoria di campo

La relatività di Einstein si divide in relatività ristretta e relatività generale.

La relatività generale si scontra con i concetti della teoria della gravitazione universale. L’errore che viene fatto nella teoria della gravitazione universale e successivamente corretto dalla relatività generale è la considerazione della forza peso.

Nella prima teoria, la forza peso viene considerata come una forza immediata, e che quindi provoca immediata azione alla sua presenza/assenza. Presupporre questo, però, vorrebbe dire considerare la forza come più veloce della luce, il che è impossibile.

La soluzione che viene proposta da Einstein con questa teoria è che la gravitazione dei pianeti sia una conseguenza della curvatura spaziotempo causata dalle masse. Secondo questa teoria, lo spaziotempo viene curvato dalle grandi masse, in questo caso di pianeti e stelle. Questo spiega alcuni fenomeni che la teoria precedente non era in grado di spiegare, come per esempio deviazioni della luce che facevano apparire stelle non come ovali o cerchi ma bensì come fessure (vedi Abell 2218).

Si ha quindi un legame tra la gravità e il concetto geometrico dello spaziotempo.

L’equazione principale della relatività è l’equazione di campo, ovvero Rij-1/2 Rgij+gij=8G/c^4 Tij.

Per capire esattamente la sua funzione, è meglio prima scomporla osservando ogni fattore.

Il primo che possiamo osservare è Rij, ovvero un tensore di curvatura. Ci sono altri due tensori in questa equazione, gij e Tij. Tutti e tre sono dotati degli indici ij (che in alcuni testi sono segnati come ik) e sono perciò tutti e tre matrici.

Rij è un’equazione che si riduce ad una funzione di gij e per cui si calcola R.

Per R si intende una curvatura scalare.

gij è un tensore metrico, e definisce la deformazione dello spazio tempo.

è la lambda. Nella prima versione di questa equazione, la lambda non era presente. Essa è stata aggiunta come costante cosmologica solo successivamente, poiché il calcolo dell’equazione contraddiceva una parte della teoria di Einstein, che vedeva l’universo come statico. Come si sa oggi, grazie alla scoperta della materia oscura (di cui si parlerà successivamente), l’universo è in uno stato costante di espansione. La costante cosmologica si riferisce ad un’energia, e oggi rappresenta gran parte dell’energia oscura.

Oggi, essendo inutile per rappresentare una staticità inesistente, la lambda rappresenta l’accelerazione dell’espansione dell’universo.

Quindi, guardando generalmente la parte a sinistra dell’uguale nell’equazione, si potrebbe dire che essa è una funzione di gij, dato che Rij si ricollega a quel valore come R si ricollega a Rij. E, dato che è una funzione di gij, si potrebbe dire che generalmente quella parte di equazione rappresenta la forma dello spaziotempo.

Analizzando la seconda parte del teorema di campo, nella prima frazione presente troviamo G, ovvero la costante gravitazionale universale, e c, ovvero la propagazione della luce nel vuoto.

Molto interessante è il tensore Tij, il tensore stress energia, anche chiamato energia impulso.

Questo tensore è una matrice in cui entrambi gli indici, ij, hanno valori che possono andare da 0 a 3 compresi. ij rappresenta rispettivamente la riga e colonna in cui un valore viene posizionato.

Ognuno degli elementi di questa matrice rappresenta un valore diverso, con t00 la densità di energia, t10, t20, t30 la densità della quantità di moto, t01, t02, t03 il flusso di energia, t11, t22, t33 la pressione e t12, t13, t23, t21, t31, t32lo stress.

Si potrebbe quindi dire che 8G/c^4 Tij rappresenta il contenuto dell’universo in tutte le sue forme.

Si ha quindi che la forma dello spazio tempo = la distribuzione di tutto ciò che si ha nell’universo. Perciò, se si conosce la seconda si può ricavare la prima.

La matrice Tij

gij se Tij=0

Nel caso in cui Tij sia uguale a zero, si fa riferimento alla metrica di Minkowski.

Minkowski parte dallo spazio tridimensionale introdotto nelle leggi di Newton. Prendendo due coordinate, attraverso il teorema di Pitagora si può calcolare la distanza, e questo calcolo può essere scritto come: ds2=dx2+dy2+dz2. ds è l’intervallo, invariabile.

Questa equazione si adatta poi alle regole della relatività ristretta (che in questo caso viene usata dato che nella dimostrazione si intende tenere conto solo di Tij e gij). Adattando alla relatività però, si deve tenere conto di una componente temporale, e quindi l’equazione ds2=c2t2+dx2+dy2+dz2. Questo perciò rappresenta la distanza nello spaziotempo di quattro dimensioni.

Due cose importanti da notare: questa equazione di Minkowski si basa sullo spazio di Minkowski, ovvero uno spazio quadridimensionale pseudoeuclideo e nella equazione stessa i punti scelti vengono considerati come eventi, ovvero un elemento dello spaziotempo in cui qualcosa accade.

Dopo aver trovato ds2=c2t2+dx2+dy2+dz2, l’equazione si può considerare nel caso precedentemente menzionato, ovvero Tij=0.

In questo caso, appoggiandoci all’equazione di Minkowski si avrebbero quattro colonne e righe in cui gli unici valori presenti sarebbero -c2, 1, 1 e 1, per cui l’unico termine necessario sarebbe c, ovvero la velocità della luce nel vuoto.

Minkowski

spaziotempo di Minkowski

Equazioni di Friedmann

Dall’equazione di campo, si possono ricavare le due equazioni di Friedmann.

Per farlo, è necessario prima di tutto calcolare l’equazione non considerando tutto Tij ma solo t00. In questo caso l’equazione risultante è a^2+kc^2/

a^2=8G/3+c^2/3.

La seconda equazione nasce quando non si considera solo t00, ma anche t11, t22, t33. La risultante è ä/a=-4G/3(rho+3p/c^2)+c^2/3.

Ricollegandomi al primo argomento trattato, ovvero il principio cosmologico, vado quindi ad analizzare i singoli valori.

Abbiamo qui a. e ä, che sono derivate della a giá introdotta, ovvero il fattore scala presente in ds2=dt2-a(t)dl2. Le due a qui presenti sono rispettivamente la derivata e la derivata seconda di a(t), e in questo caso descrivono rispettivamente la velocità dell’espansione dell’universo e la sua accelerazione.

k è la curvatura, mentre rho è la densità della massa volumetrica. c e G sono già stati incontrati nell’equazione di campo, e l’unico nuovo valore è p, ovvero la pressione.

Risolvendo queste due equazioni i due risultati che si ottengono due soluzioni per le grandezze di a./a e ä/a.

Queste soluzioni dipendono da quattro parametri lambda, rho, p, e k. Ovvero, materia, radiazione, energia oscura e curvatura.

Questi sono tutti i fattori che vengono presi in considerazione quando si parla di struttura dell’universo.

Specialmente importante è la curvatura, determinata dalla densità critica della materia e dell’energia (attorno ai 10^-23 grammi per metro cubo). Se contiene più di quel numero, allora k è positivo; se ne contiene meno k è negativo e se ne contiene l’esatta quantità k è nullo.

Friedmann

Come è stato menzionato in precedenza, l’universo non è statico come pensava Einstein, ma in continuo movimento.

Per capire come si è arrivati a questa conclusione, è necessario introdurre il concetto di redshift.

Il redshift viene usato per determinare la distanza di pianeti e stelle, attraverso l’analisi delle loro onde elettromagnetiche. Più le onde sono tendenti al rosso, più la posizione è lontana dalla Terra.

La materia oscura è un incognito della cosmologia. Deve esistere, oppure pianeti con moti particolarmente veloci si disperderebbero semplicemente nello spazio. Si è calcolato che è necessario che la materia oscura occupi il 31,5 percento della densità critica.

La composizione di maggior parte di questo 31,5 percento resta per ora un mistero.

Grazie al precedentemente menzionato redshift, si è stati in grado di notare come l’universo abbia accelerato la sua espansione (che nei millenni precedenti aveva iniziato a rallentare). Questo fenomeno è stato spiegato con l’energia oscura.

Questo moto attrattivo opposto viene spiegato con la precedentemente menzionata relatività, e in particolare con la pressione.

La pressione è nella maggior parte della fisica una forza “benigna”. Benigna intendendo che contribuisce ai movimenti delle forze in modo positivo.

La relatività però dice che è possibile per la pressione contribuire in modo negativo, e che questo non porta ad un moto gravitazionale verso l’interno ma ad un moto di ampliamento.

È da ricordare che questa pressione negativa si riferisce unicamente all’energia oscura, dato che tutto il resto della materia ha pressione positiva.

Con questo ampliamento continuo, ci sono varie teorie a ciò che accadrà in futuro. Nel caso di un universo con k positivo, l’universo collasserà su se stesso.

Se l’universo è piatto, si è destinati a un futuro in cui l’espansione è così veloce da impedire l’unione di atomi, il che porterà all’assenza di stelle e un allontanamento di tutte le galassie da noi adesso visibili. Quindi la via lattea, che si sarà a quel punto unita all'agglomerato di galassie di cui fa parte, sarà destinata ad uno spazio freddo e eternamente privo di luce.

Materia nell'universo

Equazione del redshift

Red-shift

Fonti

- https://itp.uni-frankfurt.de/~rezzolla/GR/WS_2015/combined_lectures_gr.pdf

- https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_campo_di_Einstein#

- https://edu.inaf.it/immagine_infinito/equazione-di-campo-di-einstein/

- https://it.wikipedia.org/wiki/Costante_cosmologica

- https://youtu.be/e-lnWFAU1-Y

- https://edu.inaf.it/corso_base_brera/il-modello-cosmologico-standard-e-lenigma-dellespansione/

- http://cosmo.fisica.unimi.it/assets/IntroAstro/IntroAstro1112/lezione5.pdf

- http://www.mechri.it/20172018/SEMINARIOARTIDINAMICHE/MATERIALI/Allegato%205.2_%20E.%20Meazza,%20Brevi%20note%20sulla%20quarta%20dimensione.pdf

- https://www.amazon.it/Una-notte-Attraversare-scienza-astrofisico-ebook/dp/B07H32PPFP