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AA #1 - Filtro di Kalman: implementazione su board Arduino UNO
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A.A. #1 - Filtro di Kalman: implementazione su Arduino UNO
Invenzione (1960)
Rudolf Emil Kálmán (1930-2016)
Cos'è?
Filtro di Kalman
- strumento per stimare lo stato di un sistema dinamico lineare perturbato da rumore, sulla base di misure linearmente dipendenti dallo stato e corrotte da rumore
- una delle più grandi invenzioni di ingegneria (differenti campi applicativi)
- più che un filtro, si tratta di uno stimatore: è detto filtro perché elimina il rumore delle misure per costruire le stime
- alternativa all'osservatore di Luemberger
- sfrutta un modello dell'incertezza di misura e di processo
- efficiente filtro ricorsivo
Caratteristiche
- compensazione di modelli matematici non precisi
2 problemi
- complessità del modello matematico
optimal filtering
optimal prediction
- ipotesi sul modello
Stima di un sistema
- Info disponibili: inputs e outputs
Misura affetta da rumore
- descrizione stocastica del fenomeno (funzioni di probabilità)
Case of study
- soluzione: Filtro di Kalman per ridurre il noise
Obbiettivo
- lettura sensore di temperatura
sensore di temperatura LM35DZ
- implementazione di un filtro di Kalman su board Arduino UNO
Filtro di Kalman discreto
- sistema nello spazio degli stati (discreto)
- w(t): disturbo sul processo
- v(t): disturbo sulla misura (noise)
Processi stocastici
Strumenti matematici
- Q: matrice di covarianza di w(t)
- R: matrice di covarianza di v(t)
- P: matrice di covarianza di e(t)
Covarianza dell'errore di predizione dello stato
Errore di predizione dello stato
Termine di innovazione
Algoritmo
- previsione e correzione
Modello SS stocastico (ipotesi)
- u(t) : processo deterministico
- w(t), v(t) : rumore bianco con distribuzione Gaussiana a media nulla (processi tra loro non correlati)
- Q, R : rispettivamente matrice di covarianza di w(t) e v(t)
- x0 : vettore aleatorio Gaussiano (non correlato con w(t) e v(t))
Cenni teorici
2 problemi di ottimizzazione
1) predizione ottima: dati A,B,C,Q,R,x0,P0 determinare la stima ottima di x(t) dagli inputs e outputs passati y(t-1),...,u(t-1),...
predizione ottima + filtraggio ottimo
Matrice di covarianza predizione del termine di innovazione
Matrice di covarianza dell'errore di predizione dello stato
2) filtraggio ottimo: dati A,B,C,Q,R,x0,P0 determinare la stima ottima di x(t) dagli inputs e outputs passati e attuali y(t), y(t-1),..., u(t), u(t-1),...
Kalman filter equations: predictor-correction form
Start:
Prediction:
Stato filtrato
Correction:
Kalman gain
Output prediction:
Output filtering:
Errore di predizione dello stato all'istante t+1
Covarianza predetta
Covarianza dell'errore di filtraggio
Sensore di temperatura LM35DZ:
5.20 mm
Altezza
Sigla LM35DZ
4.19 mm
Profondità
5.20 mm
Lunghezza
GND
Package
TO-92
4 - 30 V
Funzione
sensore di temperatura
3
Pin count
±0.6 °C
Precisione
Sensibilità
10 mV/°C
Range temperatura
0 - 100 °C
data
Datasheet LM35DZ
Implementazione su Arduino
Range di funzionamento
4 - 30 V
Tipo di uscita
analogica
Circuito in Fritzing
Codice sketch