DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

lIMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN R3.

LímiteS:

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

• En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertosinducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

CONTINUIDAD:

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones realesde una variable real.

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a. Expresemos esto en términos del concepto de límite.

Derivación de funciones de varias variables en el Espacio (R3)

derivadas parciales:

La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes.

En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente.

Se usa el símbolo " ∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.

Interpretación:

derivadas parciales de orden superior:

Interpretación geométrica:

Si f está una función de x, y, y posiblemente otras variables, entonces:

En forma parecida:

La derivada parcial del segundo orden se puede escribir también como fxx, fyy, fxy, y fyx respectivamente.

Las ultimas dos se llaman derivadas mixtas y estarán siempre iguales cuando todas las derivadas de primer y segundo orden están continuas.

DIFERENCIA TOTAL:

En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

DERIVADA TOTAL:

E

N

D

I

F

E

R

E

N

C

I

A

L

E

S

E

C

U

A

C

I

O

N

E

S

T

O

T

A

L

E

S

GRADIENTE:

El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:

INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE:

PROPIEDADES:

DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.1​ Llamado también campo solenoidal.

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL:

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

COORDENADAS

CARTESIANAS:

COORDENADAS

ORTOGONALES:

COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFÉRICAS:

COORDENADAS

GENERALES:

DIVERGENCIA

D

E

L

A

T

E

O

R

E

M

A

ROTOR:

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de R3 que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

EXPRESIÓN EN COORDENADAS CARTESIANAS:

EXPRESIÓN EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS:

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

PROPIEDADES:

IDENTIDADES

PLANO TANGENTE:

RECTA NORMAL:

LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA NORMAL SON:

LAS ECUACIONES SIMÉTRICAS DE LA RECTA NORMAL SON: