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MEF
EMILIO PÁEZ
MEF
RESUMEN
El método de los elementos finitos (MEF) es una técnica numérica general para la resolución de problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales (EDP).
INICIO
Se propuso por primera vez en los a_os cuarenta y fue puesto en práctica en la década siguiente en el dise_o aeronáutico.
electromagnetismo
ELECTROMAGNETISMO
Desde entonces el método se ha desarrollado y aplicado extensamente en muchos otros campos, entre ellos el electromagnetismo.
ACTUALMENTE
Actualmente se considera un método general aplicable a la mayoría de los problemas matemáticos y de ingeniería.
El método está basado en la división del dominio continuo sobre el que se quiere estudiar el problema en varios subdominios en los que la función incógnita o la solución del problema es suma de funciones de interpolación simples con coeficientes desconocidos. Así, el problema original con infinitos grados de libertad se transforma en un problema con un número finito de éstos, es decir, la solución del problema sobre todo el dominio se aproxima a partir de un número finito de coeficientes desconocidos. Con esta filosofía, y aplicando el método variacional de Ritz o el método de Galerkin, se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas que, una vez resuelto, proporciona la solución del problema.
Todo este proceso se puede dividir en las siguientes fases:
1. Discretización del dominio.
2. Elección de las funciones de interpolación.
3. Formulación del sistema de ecuaciones.
4. Resolución del sistema de ecuaciones.
5. Postproceso.
Problemas
La discretización del dominio en que tiene lugar el fenómeno bajo estudio es la primera y, tal vez, la más importante fase del proceso, pues de ella dependen los recursos de memoria necesarios, la velocidad de generación de la solución y la exactitud de los resultados numéricos obtenidos. En ella, el dominio se divide en peque_os subdominios llamados elementos. La geometría de éstos depende del número de dimensiones sobre las que estemos trabajando y de las características del problema:
Unidimensional
segmentos de la línea que forma el dominio.
Bidimensional
triángulos y cuadriláteros. Los cuadriláteros, lógicamente, se ajustan mejor a dominios cuadriláteros, mientras que los triángulos se suelen utilizar para dominios con una geometría más compleja. De hecho, cualquier dominio puede ser discreteado exclusivamente con triángulos, y no así con cuadriláteros.
Tridimensional
Tridimensional
tetraedros, pentaedros y hexaedros. Análogamente al caso bidimensional, los tetraedros son los elementos más simples y siempre se ajustan a geometrías arbitrarias.
Mallas
La investigación de sistemas de generación de mallas aplicables al MEF es bastante reciente. Esto, unido a la dificultad de encontrar un método que compagine un bajo coste computacional (tiempo y recursos), una aceptable calidad de la malla, la posibilidad de controlar algunas características de ésta (como la distribución de los nodos) y la capacidad de discretizar dominios con geometría compleja, ha hecho que, aunque la bibliografía sobre el tema es extensa, en la actualidad no exista un método que destaque claramente sobre los demás.
Técnicas
Técnicas muy generales, capaces de generar mallas en geometrías complejas, como las de frente de avance o las de Delaunay-Voronoï, presentan un coste computacional elevado.
Técnicas
Por contra, los métodos algebraicos generan la malla a una gran velocidad, pero son incapaces de mallar geometrías de cierta complejidad.
Técnicas
Our Team
La geometría del dominio, el coste computacional y la capacidad de control que queramos tener sobre la malla será lo que nos haga decantarnos por unos u otros métodos.
MALLA SUPERFICIAL
Los métodos desarrollados para la generación de malla en determinadas superficies tridimensionales, entendiendo por tales aquéllas que no se encuentran contenidas en un plano y, por tanto, requieren tres coordenadas para ser definidas.
Los algoritmos de mallado utilizados, como ocurre en el caso bidimensional, precisan de un contorno previamente discretizado, dependiendo la malla final de la discretización de las líneas del contorno. Asi mismo, estas mallas superficiales son el punto de partida para la discretización del volumen que encierran, por lo que la calidad de la malla de éste depende en gran medida de la calidad de la discretización superficial de su contorno.
Por Contorno
Definidas por Contorno
Al definir un área en un plano mediante las líneas del contorno, se define de forma inequívoca la superficie que delimitan esas líneas. En el caso de tener una serie de líneas que forman un contorno cerrado en el espacio, la superficie que pueden definir queda indeterminada, existiendo infinitas posibilidades de generación de superficie. Por ejemplo:
una circunferencia en el espacio puede definir el círculo interior que delimita, o bien un casquete esférico, o cualquier otra superficie que encaje en ese contorno. Según esto, se denomina superficies definidas por el contorno en el espacio a aquellas superficies que se obtienen mediante una interpolación lineal de las líneas de su contorno, líneas consecutivas y que delimitan un espacio cerrado.
Detalles
Detail
Este método es aplicable tanto a superficies planas como a superficies regladas, es decir, aquellas superficies que se pueden obtener a partir del desplazamiento de una recta por el espacio. Este desplazamiento se produce utilizando una o dos líneas como guías de la recta generadora. Es decir, siempre que dos de las líneas del contorno opuestas en el caso de superficies cuadriláteras o dos de las líneas del contorno para superficies triangulares sean rectas, es posible generar el mallado superficial mediante el MEF tridimensional.
Superficies Cuádricas
Las superficies cuádricasson algunas de las más utilizadas. Estas superficies están definidas por una ecuación de segundo grado, que se puede transformar en su forma reducida si, mediante giros y traslaciones, se sitúa la cuádrica en el origen de coordenadas y de ángulos. Dentro de los tres tipos siguientes encontramos la mayor parte de las cuádricas que pueden despertar nuestro interés:
• La esfera, como caso particular del elipsoide.
• El elipsoide.
• El paraboloide elíptico.
What's Next?
Superficies Esféricas
Las superficies esféricas son las más importantes dentro de las cuádricas, ya que es un tipo de superficie muy utilizado y de fácil desarrollo. La esfera es un caso particular de las superficies elipsoidales en el que sus puntos equidistan del centro. La ecuación analítica reducida en coordenadas cartesianas que rige esta figura es:
donde R es el radio, y es válida si el centro está en el origen de coordenadas. Por tanto, para la definición completa de esta superficie son suficientes las líneas que forman el contorno y el centro.
MEF
Con el MEF se pueden generar mallas en superficies curvas, obteniéndose una malla ajustada al contorno. Por tanto, la primera posibilidad que se plantea es realizar la discretización utilizando directamente este método, con la precaución de utilizar líneas de contorno que no estén todas contenidas en un plano, pues, en ese caso, se genera la malla de un círculo. Esta opción se descarta al comprobar que, aunque el resultado es regular, la malla no está contenida en la superficie esférica; se ajusta al contorno, pero queda aplanada, como se aprecia en el esquema de la figura. Esto es debido a que la técnica de interpolación que incorpora el MEF sólo garantiza la generación de mallas coincidentes con las superficies cuando éstas son regladas.
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