Introducing
Your new presentation assistant.
Refine, enhance, and tailor your content, source relevant images, and edit visuals quicker than ever before.
Trending searches
DİDEM ZEYNEP BEKİROĞLU-201710204017
MİNE YILDIRIM-201710204018
SAFFET YAĞIZ-201710204019
Adına Parabolik geometri de denen Öklid Geometrisi esas alınarak diğer iki
geometriye ortak isim olarak Öklidyen Olmayan Geometriler dendiğini de biliyoruz.
Bu Öklidyen Olmayan Geometrilerden birincisi dördüncü postülatı “bir
doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel çizilemez” şeklinde alan Eliptik
geometridir.
İkincisi de “Bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel
çizilebilir” şeklindeki paralellik versiyonunu kullanan Hiperbolik geometridir.
Hiperbolik geometrinin bu özelliği alışılmadık neticeleri doğurmuştur.Örneğin;
Hiperbolik geometri de benzer üçgenler kongrüenttir, bir üçgende açıların toplamı
180o
değildir gibi . Öklid uzayındaki çemberlerin alanları yarIçapa göre lineer olarak
değiştiği halde hiperbolik geometride üstel olarak değişir.Hiperbolik uzayda bir
doğruya birden fazla paralel doğru çizilebildiğinden daha fazla alt bölmelere
sahiptir.
Bu nedenle hiperbolik uzay üç boyutlu şekillerin bilgisayar grafiğinin
çiziminde daha kullanışlı uzaydır.Dört boyutlu Öklid uzayındaki şekilleri yuvarın içine
dönüştürerek grafiklerini çizebiliriz.paralellik aksiyomu sayesinde bilgi depolamada
da hiperbolik uzayın kullanımı önemli rol oynamaktadır.Hiperbolik uzay World Wide
Web için de önemli bir model olmaktadır.
Hipebolik Geometriden söz eden hemen hemen herkes Öklid’ in beş temel
postüladını vermeden konuya giremez . Çünkü Hiperbolik Geometrinin çıkışı bu beş
temel postülattan beşincisine dayanmaktadır.
P1 . İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
P2 . Bir doğru sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
P3 . Merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizilebilir.
P4 . Bütün dik açılar eşittir.
P5 . Farklı iki doğruyu kesen bir doğru bu iki doğru ile aynı tarafta eş açılar oluşturursa
iki doğru veya bunların uzantıları birbirini kesmez, veya uzantıları birbirini keserse
kestiği tarafta oluşan açıların toplamı 180o
den küçüktür.
İlk dört postülat verildiği zaman, beşincisinin aşağıda verilen paralellik
potüladına denk olduğu kolaylıkla görülmektedir. Beşinci postülat deyimi yerine
paralellik postülatı da kullanılmaktadır.
Paralellik postülatı: Düzlemde bir nokta ve bu noktayı üzerinde
bulundurmayan bir doğru verildiği zaman, bu noktadan geçen ve verilen doğruya
paralel bir tek doğru geçer.
İki bin yıldan beri matematikçiler ilk dört postülattan beşinci postülatı elde
etmeye çalışmışlardır. Her bir durum için ilave postülatlar yaparak beşinci postülada
indirgemeye çalışmışlar, neticede ise gerçekte bunların beşinci postülata denk
olduğu sonucuna varmışlardır.Paralellik postülatı ile uğraşan bilim adamlarını
şu şekilde sıralayabiliriz: Proclus(400), Nasirüddin Tusi, John Wallis(1616-1703),
Girolamo Saccheri(1667-1733), Johann heinrich Lambert (1728-1777),
Kastner(1719-1800), Klügel’in(1739-1812) sayılabilir.
19. yüzyılda bu konu üzerine oldukça yoğun çalışmalar yapılmış ve beşinci
postülatı değişik bir açıdan incelemeye çalışmışlardır. Bunlar sırasıyla
Schweikart(1780-1859), Taurinus’tur(1799-1874)., Carl Friedrich Gauss(1777-1855),
Lobatsheskii(1793-1856), Farkas(Wolfgang)(1775-1856), Janos Bolyai(1802-1860)
Gauss, Bolyai ve Lobatshevskii Non-Öklidyen geometriyi bir sentetik baz
üzerinde aksiyomatik olarak geliştirmişlerdir. Lobatshevskii Öklidyen geometrinin
Trigonometrik formüllerine dayanarak bir Non-Öklidyen trigonometri geliştirmiştir.
Hiperbolik Non-Öklidyen geometrinin analitik çalışmasına esas gereksinim Euler,
Gaspard Monge ve Gauss’un eğrisel yüzeyler üzerine yapmış olduğu çalışmalarda
ortaya çıkmıştır.
1837’ de Lobatshevskii, sabit negatif eğrilikli eğrisel yüzeylerin NonÖklidyen
Geometride temsil edilebilirliğini önermiştir. İki yıl sonra ise bu öneri gözardı
edilerek yapılan çalışma aynı dergide yayınlanmış ve bu ise sabit eğrilikli yüzeyler
üzerine geniş bir çalışma alanı oluşturmuştur.Bernhard Riemann(1826-1866), bu
yüzeylerin oldukça geniş bir genellemesini yapmıştır. Riemann’ın çalışmaları bir
sıçrama tahtası olmuştur. Yapılar arasındaki bağıntılar Eugenio Beltrami tarafından
1868’ de vurgulanmıştır.
Sonuçta aşağıdaki postülata ulaşılmıştır.
Bir doğru ve üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, bu noktadan geçen
ve verilen doğruya paralel olan birden çok doğru bulunabilir.
Her Geometri kendisine bazı modeller seçer.Öklid Geometrisi Evreni,.Küresel
Geometri Küre yüzeyini kendisine model almıştır. Hiperbolik geometri de kendisine
paralellik versiyonu nedeniyle pek çok model edinmiştir.Bunlar dan beş model
yandaki gibidir.
Burada hiperbolik uzayın beş modeli verilecek ve bu modeller arasındaki izometriler
ve n = 2 için geometrik olarak irdeleme yapılacaktır.
H = { ( 1, x2, ... , xn+1) : xn+1 > 0 } cümlesine
0 xn+1 = hiperdüzlemine göre üst yarı-uzay denir.
n = 2 için bu modeli şekil üzerinde görmek mümkündür.
H2
= { ( 1, x2, x3) : x3 > 0 }
literatürde bu modele Poincare Yarı Uzay Modeli de denilmektedir. Bu modeldeki
doğrular iki şekilde belirlenir.
i) x düzlemine dik do 3 = 0 ğrular ile H2 nin arakesiti alınarak,
ii) Merkezi x1 = 1 doğrusu üzerinde bulunan çemberlerin H2 nin arakesiti
alınarak belirlenir.
Bütün bu modelleri verdikten sonra bunlardan önemli uygulamaları olan
Klein-Beltrami modeli hakkında biraz bilgi vermek uygun olur.aralarındaki izometriyi
kullanarak diğerleri hakkında da benzer bilgiler elde edilir.
Bu modelde Hiperbolik uzay ;Açık Yuvardan oluşur.Bu uzayın noktaları sonlu ve
sonsuz nokta olarak ikiya ayrılır.
Bu uzayın doğruları yuvarın açık doğru parçalarıdır.Bu modelde iki doğru yuvarın
içinde kesişiyorsa hiperbolik doğrulara hiperbolik uzayın kesişen doğruları denir.
http://w3.gazi.edu.tr/~karliaga/Sitem/sunumlar/Ankara%20Uni.%201.pdf
https://www.matematiktutkusu.com/tags/Hiperbol+Nedir/
https://www.turkcebilgi.com/hiperbolik_geometri
https://www.youtube.com/watch?v=ljK9aiNr9G8