Introducing 

Prezi AI.

Your new presentation assistant.

Refine, enhance, and tailor your content, source relevant images, and edit visuals quicker than ever before.

Loading…
Transcript

HİPERBOLİK GEOMETRİ

DİDEM ZEYNEP BEKİROĞLU-201710204017

MİNE YILDIRIM-201710204018

SAFFET YAĞIZ-201710204019

Adına Parabolik geometri de denen Öklid Geometrisi esas alınarak diğer iki

geometriye ortak isim olarak Öklidyen Olmayan Geometriler dendiğini de biliyoruz.

Bu Öklidyen Olmayan Geometrilerden birincisi dördüncü postülatı “bir

doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel çizilemez” şeklinde alan Eliptik

geometridir.

İkincisi de “Bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel

çizilebilir” şeklindeki paralellik versiyonunu kullanan Hiperbolik geometridir.

HİPERBOLİK GEOMETRİ NEDİR?

Hiperbolik geometrinin bu özelliği alışılmadık neticeleri doğurmuştur.Örneğin;

Hiperbolik geometri de benzer üçgenler kongrüenttir, bir üçgende açıların toplamı

180o

değildir gibi . Öklid uzayındaki çemberlerin alanları yarIçapa göre lineer olarak

değiştiği halde hiperbolik geometride üstel olarak değişir.Hiperbolik uzayda bir

doğruya birden fazla paralel doğru çizilebildiğinden daha fazla alt bölmelere

sahiptir.

Bu nedenle hiperbolik uzay üç boyutlu şekillerin bilgisayar grafiğinin

çiziminde daha kullanışlı uzaydır.Dört boyutlu Öklid uzayındaki şekilleri yuvarın içine

dönüştürerek grafiklerini çizebiliriz.paralellik aksiyomu sayesinde bilgi depolamada

da hiperbolik uzayın kullanımı önemli rol oynamaktadır.Hiperbolik uzay World Wide

Web için de önemli bir model olmaktadır.

HİPERBOLİK GEOMETRİNİN TARİHÇESİ

TARİHÇE

Hipebolik Geometriden söz eden hemen hemen herkes Öklid’ in beş temel

postüladını vermeden konuya giremez . Çünkü Hiperbolik Geometrinin çıkışı bu beş

temel postülattan beşincisine dayanmaktadır.

P1 . İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.

P2 . Bir doğru sınırsız bir şekilde uzatılabilir.

P3 . Merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizilebilir.

P4 . Bütün dik açılar eşittir.

P5 . Farklı iki doğruyu kesen bir doğru bu iki doğru ile aynı tarafta eş açılar oluşturursa

iki doğru veya bunların uzantıları birbirini kesmez, veya uzantıları birbirini keserse

kestiği tarafta oluşan açıların toplamı 180o

den küçüktür.

İlk dört postülat verildiği zaman, beşincisinin aşağıda verilen paralellik

potüladına denk olduğu kolaylıkla görülmektedir. Beşinci postülat deyimi yerine

paralellik postülatı da kullanılmaktadır.

Paralellik postülatı: Düzlemde bir nokta ve bu noktayı üzerinde

bulundurmayan bir doğru verildiği zaman, bu noktadan geçen ve verilen doğruya

paralel bir tek doğru geçer.

İki bin yıldan beri matematikçiler ilk dört postülattan beşinci postülatı elde

etmeye çalışmışlardır. Her bir durum için ilave postülatlar yaparak beşinci postülada

indirgemeye çalışmışlar, neticede ise gerçekte bunların beşinci postülata denk

olduğu sonucuna varmışlardır.Paralellik postülatı ile uğraşan bilim adamlarını

şu şekilde sıralayabiliriz: Proclus(400), Nasirüddin Tusi, John Wallis(1616-1703),

Girolamo Saccheri(1667-1733), Johann heinrich Lambert (1728-1777),

Kastner(1719-1800), Klügel’in(1739-1812) sayılabilir.

19. yüzyılda bu konu üzerine oldukça yoğun çalışmalar yapılmış ve beşinci

postülatı değişik bir açıdan incelemeye çalışmışlardır. Bunlar sırasıyla

Schweikart(1780-1859), Taurinus’tur(1799-1874)., Carl Friedrich Gauss(1777-1855),

Lobatsheskii(1793-1856), Farkas(Wolfgang)(1775-1856), Janos Bolyai(1802-1860)

Gauss, Bolyai ve Lobatshevskii Non-Öklidyen geometriyi bir sentetik baz

üzerinde aksiyomatik olarak geliştirmişlerdir. Lobatshevskii Öklidyen geometrinin

Trigonometrik formüllerine dayanarak bir Non-Öklidyen trigonometri geliştirmiştir.

Hiperbolik Non-Öklidyen geometrinin analitik çalışmasına esas gereksinim Euler,

Gaspard Monge ve Gauss’un eğrisel yüzeyler üzerine yapmış olduğu çalışmalarda

ortaya çıkmıştır.

1837’ de Lobatshevskii, sabit negatif eğrilikli eğrisel yüzeylerin NonÖklidyen

Geometride temsil edilebilirliğini önermiştir. İki yıl sonra ise bu öneri gözardı

edilerek yapılan çalışma aynı dergide yayınlanmış ve bu ise sabit eğrilikli yüzeyler

üzerine geniş bir çalışma alanı oluşturmuştur.Bernhard Riemann(1826-1866), bu

yüzeylerin oldukça geniş bir genellemesini yapmıştır. Riemann’ın çalışmaları bir

sıçrama tahtası olmuştur. Yapılar arasındaki bağıntılar Eugenio Beltrami tarafından

1868’ de vurgulanmıştır.

Sonuçta aşağıdaki postülata ulaşılmıştır.

Bir doğru ve üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, bu noktadan geçen

ve verilen doğruya paralel olan birden çok doğru bulunabilir.

MODELLER

Her Geometri kendisine bazı modeller seçer.Öklid Geometrisi Evreni,.Küresel

Geometri Küre yüzeyini kendisine model almıştır. Hiperbolik geometri de kendisine

paralellik versiyonu nedeniyle pek çok model edinmiştir.Bunlar dan beş model

yandaki gibidir.

Burada hiperbolik uzayın beş modeli verilecek ve bu modeller arasındaki izometriler

ve n = 2 için geometrik olarak irdeleme yapılacaktır.

Üst-Yarı Uzay Modeli :

1.model

H = { ( 1, x2, ... , xn+1) : xn+1 > 0 } cümlesine

0 xn+1 = hiperdüzlemine göre üst yarı-uzay denir.

n = 2 için bu modeli şekil üzerinde görmek mümkündür.

H2

= { ( 1, x2, x3) : x3 > 0 }

literatürde bu modele Poincare Yarı Uzay Modeli de denilmektedir. Bu modeldeki

doğrular iki şekilde belirlenir.

i) x düzlemine dik do 3 = 0 ğrular ile H2 nin arakesiti alınarak,

ii) Merkezi x1 = 1 doğrusu üzerinde bulunan çemberlerin H2 nin arakesiti

alınarak belirlenir.

DİSK MODELİ:

2.MODEL

Yarı Küre Modelİ

3.MODEL

KLEİN MODELİ

4.MODEL

HİPERBOLOİDAL MODEL

5.MODEL

Bütün bu modelleri verdikten sonra bunlardan önemli uygulamaları olan

Klein-Beltrami modeli hakkında biraz bilgi vermek uygun olur.aralarındaki izometriyi

kullanarak diğerleri hakkında da benzer bilgiler elde edilir.

Klein-Beltrami modeli

KLEİN BELTRAMİ MODELİ

Bu modelde Hiperbolik uzay ;Açık Yuvardan oluşur.Bu uzayın noktaları sonlu ve

sonsuz nokta olarak ikiya ayrılır.

Bu uzayın doğruları yuvarın açık doğru parçalarıdır.Bu modelde iki doğru yuvarın

içinde kesişiyorsa hiperbolik doğrulara hiperbolik uzayın kesişen doğruları denir.

KAYNAKÇA

http://w3.gazi.edu.tr/~karliaga/Sitem/sunumlar/Ankara%20Uni.%201.pdf

https://www.matematiktutkusu.com/tags/Hiperbol+Nedir/

https://www.turkcebilgi.com/hiperbolik_geometri

https://www.youtube.com/watch?v=ljK9aiNr9G8

Learn more about creating dynamic, engaging presentations with Prezi