(Para Prezi Video) INTERPOLACON

Definición

La interpolación es un método numérico y gráfico que permite encontrar datos desconocidos entre o en medio de otros datos ya conocidos .

El tipo de interpolación difiere según la naturaleza de los datos utilizados. Por ejemplo se usa la interpolación lineal para los datos que son representados por una linea gráfica.

la formula que usaremos en nuestro caso esta basado en los tres datos que conocemos que son en limite inferior (Li), limite medio (Lm) y limite inferior (Li).

1. Interpolación por Splines lineal

Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de un (Recta de la forma que f(x)=ax+b) se encargan de unir cada parte de la coordenadas mediante una recta.

Dados los puntos n+1:

Una función spline que interpone los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Para las coordenadas) mediante segmentos de rectas, como se ilustra en las siguientes figuras:

1. Interpolación por Splines lineal

2. Interpolación por Splines cúbicos

2. Interpolación por

Splines cúbicos

El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo.

Sobre cada intervalo , S está definido por un polinomio cúbico diferente.

Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el intervalo [ti,ti+1], por tanto:

Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se cumple:

Si-1(ti) = yi = Si(ti)por lo que se garantiza que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico.

3. Interpolación polinomial de

La Grange

Objetivo

Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x):

(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn).

Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación

3. Interpolación polinomial de LaGrange

4. Interpolación Polinomial de Newton (Diferencias Divididas)

El método de newton de diferencias divididas es otra de forma de obtener el polinomio interpolador en este método el polinomio interpolador se escribe de la siguiente forma:

La formula para obtener el polinomio es:

4. Interpolación Polinomial de Newton (Diferencias Divididas)

5. Método de Mínimos cuadrados Regresión Lineal

El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nospermite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y

es lineal,el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.

El lector puede consultar en el Apéndite F de la Ref. [1] una discusión del caso general de cuadrados mínimos cuando el modelo es no lineal y los datos están afectados de errores.La Fig. 1 ilustra el caso lineal. La dispersión de los valores está asociada a la fluctuación de los valores de cada variable. Observamos o suponemos una tendencia-lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es la mejor recta:

(1)

que representa este caso de interés.

Es útil definir la función χ2(Chi-cuadrado)[1-3]:

(2)

que es una medida de la desviación total de los valores observados Yi respecto de los predichos por el modelo lineal

a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la función χ2, Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo

5. Método de Mínimos cuadrados Regresión

Lineal

6. Método de Hermite

6. Método de Hermite

En el análisis numérico, la interpolación de Hermite, nombrada así en honor a Charles Hermite, es un método de interpolación de puntos de datos como una función polinómica. El polinomio de Hermite generado está estrechamente relacionado con el polinomio de Newton, en tanto que ambos se derivan del cálculo de diferencias divididas.:

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