Derivada de una función

Relación entre la derivada y el límite

Relación entre derivada y el limite

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La derivada de una función, se calcula como el límite de la velocidad de cambio de una función para un intervalo determinado. 

La derivada en sí misma es un límite, y podemos verlo ya que la derivada por definición se calcula mediante un límite: 

El límite gráficamente, nos muestra una curva asíntota, es decir, que se aproxima mucho a un valor pero no llega a tocarle, y la derivada gráficamente nos muestra la recta tangente a la curva en un punto. 

Derivada de una función

Definición

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Notación de Leibnz

Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de

se escribe:

Notación

También puede encontrarse como

Notación de Lagrange

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de

en el punto

se escribe:

para la primera derivada,

Notación

para la segunda derivada,

para la tercera derivada,

para la enésima derivada

(También se pueden usar números romanos).

1

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

Propiedades

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

Propiedades

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Ejemplo

Aplicando las reglas de derivación

.Las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarios en la computación, etc

Aplicación

Mediante el estudio de funciones y, más concretamente, mediante el uso de la derivada podemos conocer:

• la variación del espacio en función del tiempo
• el crecimiento de una bacteria en función del tiempo
• el desgaste de un neumático en función del tiempo
• el beneficio de una empresa en función del tiempo...

De ahí que el uso de la derivada resulte fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana.

En matemáticas utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión...