GEOMETRIA ESPACIAL

Alguns conceitos na Geometria são intuitivos, primitivos e, por isso, não necessitam de definição. A Geometria de posição é construída com base nas noções intuitivas de ponto, reta e plano, que estão exemplificadas na figura a seguir:

A partir dos conceitos básicos de ponto, reta e plano, podemos enunciar alguns postulados (verdades aceitas sem demonstração):

Determinação de planos

Dizemos que um plano está determinado quando ele é único. Existem quatro modos de se determinar planos:

Posições relativas entre duas retas

Duas retas que pertencem ao mesmo plano (coplanares) podem ser: paralelas ou concorrentes.

Reversas

resumo

Posições relativas entre uma reta e um plano

Uma reta e um plano podem admitir as seguintes posições relativas:

Posições relativas entre planos

Dois planos podem admitir as seguintes posições relativas:

Reta perpendicular ao plano

Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum.

Planos perpendiculares

triângulos

triângulos

Como vimos, os triângulos são polígonos de três lados e, consequentemente, três ângulos internos e três vértices. Como todos os vértices são consecutivos, o triângulo não possui diagonal

TEOREMA DE TALLES

POLÍGONOS CONVEXOS

São considerados polígonos convexos quando qualquer segmento de reta cujas extremidades são pontos pertencentes ao interior do polígono está totalmente contido no interior desse polígono.

CLASSIFICAÇÃO

Elementos de um polígono

elementos de um polígono

É importante observar que:

1. O ângulo interno e o ângulo externo em relação ao do mesmo vértice são suplementares,

isto é, cuja soma é igual a 180°.

2. Em qualquer polígono convexo, o número vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos é o mesmo.

3. Polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si.

nomeclatura

nomeclatura

POLIEDROS

Poliedros são figuras espaciais fechadas formadas pela reunião de polígonos, como mostrado nos exemplos seguintes:

Cada polígono é denominado face do poliedro.

Os lados dos polígonos são as arestas do poliedro e;

Os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro.

propriedades

POLIEDROS REGULARES

Poliedros de Platão

Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições:

EXEMPLO:

Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?

GABARITO

EXEMPLO 2:

Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?

GABARITO 2

ELEMENTOS

ELEMENTOS

PRISMA RETO

É todo prisma em que as arestas laterais são perpendiculares a cada base. Caso o prisma não seja reto ele é chamado oblíquo. No prisma reto as faces laterais são retângulos.

PRISMA RETO

PRISMA REGULAR

É todo prisma reto cuja base é um polígono regular. Vale lembrar que polígono regular é aquele que tem todos os lados e ângulos internos de mesma medida.

PRISMA REGULAR

Área lateral (Al)

É a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma. No exemplo abaixo, um prisma reto, suas faces são retângulos.

áreas

Nem sempre o prisma terá três faces, então a fórmula para calcular a área lateral de prisma não é fixa, um prisma pode ter 4 faces, 5 faces, etc. A fórmula varia conforme o número de faces do prisma

Volume (V)

É um número que associado a uma unidade conveniente fornece a quantidade de espaço ocupado pelo sólido. A unidade geralmente utilizada como padrão de medida é a cubagem (m3, cm3, mm3, ...). O volume é o produto da área da base Ab pela altura h.

Volume

cubo

cubo

exemplo 2

exemplo 3