SISTEMAS MECÁNICOS TRASLACIONALES

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Conclusión

El modelado anterior es uno de los más frecuentes en el estudio de ingeniería de control, por sus muchas aplicaciones. Sin embargo se debe hacer notar que los modelos en que se usa la función de transferencia tienen aplicación únicamente en sistemas lineales invariantes en el tiempo, puesto que la función de transferencia sólo está definida para dichos sistemas.

En la ecuación anterior, aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación nos queda:

De la definición de función de transferencia, hemos eliminado las derivadas de las funciones en t = 0, puesto que son nulas. Finalmente se toma la relación de Y(s) con respecto a U(s), para obtener:

Función de transferencia

nos da:

Esta ultima ecuación es el modelo matemático buscado.

Sin embargo, en control nos interesa representar nuestros modelados mediante una función de transferencia. Si tomamos

transferencia. Si tomamos como D en la ecuación anterior, tenemos:

Solución

Se sustituyen las fuerzas por su valor en el diagrama de sólido libre, aplicando las leyes de Newton (o el principio de D’Alembert)

La suma de todas las fuerzas debe ser nula:

con lo que la ecuación diferencial queda de la forma:

Ejemplo

SISTEMAS MECÁNICOS TRASLACIONALES

Modelar matemáticamente el sistema mecánico indicado en la figura suponiendo que la masa se mueve horizontalmente sin rozamiento apreciable y que el resorte y el elemento de fricción tienen comportamiento lineal.

Elasticidad

Un elemento mecánico que sufre un cambio de forma cuando se le aplica una fuerza, puede ser caracterizado por un elemento elástico si existe una relación algebraica entre la fuerza aplicada y la elongación producida. El elemento elástico más común es el resorte.

La relación entre la fuerza y la elongación es la curva característica del resorte. Para un resorte lineal la curva es una línea recta y por tanto,

donde K es la constante del resorte (N/m).

La energía potencial almacenada en un resorte lineal es,

Fricción

Las fuerzas que son funciones algebraicas de la velocidad relativa entre los cuerpos se modelan por elementos de tipo fricción,

Jefry Barrero Campos

Donde C tiene unidades de N·s/m y ∆v = velocidad relativa.

El sentido de la fuerza de fricción es tal que tiende a oponerse al movimiento relativo.

Masa

La segunda ley de Newton establece que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la velocidad de cambio de la cantidad de movimiento, que en el caso más común de masa M constante da lugar a la siguiente ecuación:

La energía puede ser almacenada en forma de energía

cinética si la masa se encuentra en movimiento y en forma de energía potencial si presenta un desplazamiento vertical relativo respecto a su posición de referencia.

La energía cinética vale,

La energía potencial para un campo gravitatorio

uniforme vale,