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참고 문헌

4. 결론 및 반성

픽의 정리는 단순하지만, 진보한 현대 기술을 이용하더라도 울산지도를 다각형으로 단순화하여 픽의 정리를 활용해 넓이를 구하는 방법보다 더 쉽고 정확한 기술은 아직 개발된 것이 없다. 픽의 정리는 쉬우면서도 결과는 확실한 방법으로 알려져 있으며, 현재까지도 수정 혹은 추가사항이 거의 없었던 공식이다.

따라서, 픽의 정리는 쉽고 확실한, 수학에서의 가장 이상적인 공식이라고 말할 수 있다.

탐구를 진행하며, 수학이라는 학문이 실생활에서 유용하게 쓰일 수도 있다는 점이 놀라웠다. 픽의 정리를 이용하여 울산지도의 면적을 직접 구하는 이번 탐구를 통해 수학에 또 다른 흥미를 느낄 수 있게 되었다.

3. 픽의 정리의 실제 응용 사례

픽의 정리를 이용한 울산 면적 구하기-탐구동기

픽의 정리를 이용한 울산 면적 구하기-탐구과정

픽의 정리를 이용한 울산 면적 구하기-결과

영재교육원에서 픽의 정리를 알게 된 후 이것을 일상생활에 어떻게 사용하면 좋을 지에 대하여 생각하게 되었다. 처음에는 도형의 넓이를 구할 때에 사용하다, 울산지도를 격자점 위에 올려 그 넓이를 구해보게 되었다.

1. 울산 지도를 격자점 위에 올린다. 축척을 1㎠ : 100000000000㎠ (1㎢)

으로 잡아 격자점을 찍었다. 이때, 격자점 한 칸의 길이는 1cm이다.

2. 도형(지도) 경계선의 점 (B), 도형 내부의 점 (I)의 갯수를 센다.

3. 픽의 정리, 즉, 공식에 대입하여 값을 구한 후 축척을 반영하여 울산의 실제

면적을 구한다.

4. 실제 울산의 총 면적과도 비교하여 탐구의 정확도를 확인한다.

둘레의 격자점 개수(B) : 142개

내부의 격자점 개수 (I) : 981개

픽의 정리에 의하여,

981 + 142 x 1/2 -1 = 1051(㎠)

따라서, 위 지도의 넓이는 1051㎠ 이며 축척을 반영하여 계산한 결과, 이에 넓이가 1051㎢ 이다. 탐구를 통해 구한 수치와 실제 울산 총 면적인 1,056.1㎢ 과도 오차가 작다.

0. 탐구를 시작하며

1) 탐구동기

2015년도 영재 교육원에 다니면서 다양한 수학을 접해 보았다. 그 중 복잡하게 생긴 도형의 넓이를 쉽게 구하는 방법인

' 픽의 정리 ' 에 대해 공부하게 되었다. 도형이 격자점 위에만 있다는 조건 만으로도 도형의 넓이를 점의 개수만으로 구할 수 있다는 것이 신기해 픽의 정리에 대해 좀 더 자세히 연구하게 되었다.

2. 픽의 정리 증명법

0. 탐구를 시작하며

2) 탐구 목적

픽의 정리의 원리를 어떻게 증명하고 또 일상생활에 어떻게 사용되는지에 중점을 두고 탐구를 진행하였다. 픽의 정리를 활용해 울산지도의 면적을 구해보고 픽의 정리가 이런 방식으로 일상생활에 많이 사용할 수 있다는 것도 알 수 있었다.

1. 배경 및 이론

픽의 정리(Pick's Theorem)란?

20세기에 주목을 받은 픽의 정리

- 픽은 복소변수, 미분방정식, 미분기하 등 매우 다양한 분야에 걸쳐서 많은 논문을 남긴 수학자이다. 픽의 정리는 1899년 그의 논문에 실려 발표되었지만 사람들의 관심을 끌지 못했다가 그가 죽고 난 후인 1969년 슈타인하우스의 책에 실리면서부터 많은 사람들의 주목을 받았다.

현재 픽의 정리는 불규칙한 도형의 넓이를 구하는 데 활용되고 있다.

오스트리아의 수학자 픽(George Alexander Pick, 1859~1942)은 1899년 격자 모양의 평면 위에 놓여진 다각형의 넓이를 구하는 방법을 제시한 '픽의 정리'를 발표했다.

- 격자점 위에서 다각형의 넓이를 구하는 공식을 말한다. 이 정리에 의하면 격자 모양의 평면 위에 놓여진 다각형은 변의 길이를 알지 못해도 그 내부에 있는 점과 둘레에 있는 점의 개수로 넓이를 구할 수 있다.

만약 다각형의 내부에 I개, 다각형의 경계면에 B개의 점이 포함된다면 면적의 넓이 S는,

이 된다.

0. 탐구를 시작하며

S = I + B/2 -1

3) 탐구 절차

가. 문헌 조사

나. 탐구 실행 1) 주제선정 및 탐구 계획서 작성

2) 자료 수집 및 검토

3) 보고서 초안 작성 & 차트 제작

4) 최종보고서 & 프레젠테이션 제작

다. 결론 도출 및 탐구 과정 평가

시청해주셔서 감사합니다

Pick's Theorem

목차

1. 배경 및 이론

2. 픽의 정리 증명법

3. 실제 응용 사례

4. 결론 및 정리

( 픽의 정리 )

  • 백과사전 (두산 동아, 위키백과)

  • 네이버 블로그, 카페 게시글
  • 관련 논문 및 서적 등
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