Pruebas de series

Las dos propiedades mas importantes esperadas en los números aleatorios son uniformidad e

independencia. La prueba de uniformidad puede ser realizada usando las pruebas de ajuste de

bondad disponibles. Por ejemplo, un numero estadístico suficiente de números aleatorios pueden

ser usados para verificar la distribución de los números contra la distribución uniforme teórica

usando ya sea el método Chi-Cuadrada o el método Kolmogomorov-Smirnov(KS) para números

aleatorios. Este tipo de prueba es denominada "Prueba de frecuencia"

Los números pueden estar uniformemente distribuidos y aun no ser independientes uno del otro.

Por ejemplo, una secuencia de números monótonamente se incrementa dentro del rango de cero a uno esta uniformemente distribuida si la cantidad incremental es constante para todos. (0, 0.1, 0.2, 0.3,......,0.9).

Los números aleatorios no deben contener ningún patrón concebible. Obviamente, uno puede concebir un número grande de patrones posibles entre números, y una prueba especial puede ser creada para detectar cada patrón particular. No es recomendable ni practico realizar todas las pruebas para verificar la confiabilidad del generador números aleatorios. Se debe de comparar el costo de realizar estas pruebas con el costo de resultante de la imperfección del generador en un proyecto de simulación actual.

La distribución de la muestra D es conocida y es tabulada como una función de N en la tabla Kolmogorov-Smirnov. Para probar contra una pdf uniforme, el procedimiento sigue los pasos siguientes:

Paso 1: Ordene los datos en forma ascendente. Sea Ri, el la i^va más pequeña observación, tal quePaso 2: Usando la fdp teórica R1<=R2<=.......<=Rn F(x), calcule

Paso 3: Calcule D = max( D+, D-)

Paso 4: Encuentre el valor crítico DĮ de la tabla KS para un nivel de significancia y un tamaño de muestra N.Paso 5: Si D <= al valor crítico Da(alfa), acepte la distribución candidato como aquella que tiene un buen ajuste a los datos observados; de otra forma rechace.

Esta prueba esta basada en la desviación absoluta mayor entre las fdp empírica y teórica para todo valor dado de x. Esta desviación es comparada con los valores críticos de KS tabulados para determinar si la desviación puede ser atribuida a los efectos aleatorios y por lo tanto sea una distribución candidato a ser aceptada tener un buen ajuste a los datos observados.

Amplitud de autocorrelación: Es la distancia que existe entre los números de la lista que tiene la relación entre sí. Se da cada n-ésimo número aleatorio e inicia en el elemento i.

Esta prueba se aplica con la suposición de los números aleatorios tiene una distribución uniforme e independiente sobre el intervalo de 1 a 0.

Se utiliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los dígitos en números aleatorios individuales. Por ejemplo, si nos ocupamos de números aleatorios de cinco dígitos, nos interesara la frecuencia con que ocurre lo que sigue en los números individuales:

1.- Los cinco son diferentes.

2.- Hay exactamente un par.3.- Dos pares diferentes.4.- Tres dígitos iguales.5.- Tres dígitos iguales y un par.6.- Cuatro dígitos iguales.7.- Cinco dígitos iguales.

Por supuesto, el número de esas combinaciones que se pueden dar depende del número de dígitos que constituyen cada uno de los números aleatorios.Para aplicar la prueba del póquer:a) Escogemos primeramente un nivel de significancia,a, y enumeramos el grado derepetición de los dígitos.b) A continuación, calculamos la probabilidad de aparición de cada una de esas combinaciones.c) Luego, se examina la frecuencia con que se presenta cada combinación en la secuencia de números estudiados.d) Posteriormente, se puede comparar la frecuencia observada con que aparece cada combinación con la frecuencia esperada, mediante la prueba de la ji cuadrada. Para comprobar que los datos pertenecen a una distribución Uniforme, se debe de cumplir la condición de que X^2 Calculada < x^2 alfa/1,g.l.

Donde x^2 alfa/2,g.l se obtiene de la tabla de la distribución Ji cuadrada, con un nivel de significancia alfa y y los grados de libertad g.l. = No. de parámetros de la distribución de probabilidad a probar menos l.(en nuestro caso estamos probando la uniformidad y la distribución uniforme no tiene parámetros )

El análisis precedente sugerirá que esos números son verdaderamente aleatorios. Sin embargo esa aseveración es claramente discutible, puesto que los primeros 25 números caen por encima de la media (µ = 49.5), mientras que los 25 restantes caen bajo la media. El carácter no aleatorio de esta secuencia se sugiere por el hecho de que tenemos una corrida de números por encima de la media, seguida por una corrida por debajo de la media. Es por ello que necesitamos de otro método que nos lleva a la verdadera respuesta. Utilizando entonces el método llamadoprueba de corridas por arriba y abajo de la media. El cual consiste en lo siguiente:

Definiciones

Corrida.- Es la sucesión de eventos similares, precedidos y seguidos por un evento diferente.

Longitud de Corrida.-Es el número de eventos que ocurren en la corrida. Es decir la longitud de la corrida se determina con el número de signos iguales que contienen la secuencia de números.

La prueba de series se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entre números sucesivos.

Usualmente esta prueba consiste en formar parejas de números, las cuales son consideradas

como coordenadas en un cuadro unitario dividido en n^2 celdas. El valor de n se toma a criterio de cada uno, de acuerdo al tamaño de la muestra de N números.

Fin de la presentacion

Gracias por su atencion!

Pruebas de series

MÉTODOS PARA PROBAR NUMEROS ALEATORIOS

Existen algunos métodos disponibles para verificar varios aspectos de la calidad de los números

pseudoaleatorios. Si no existiera un generador particular de números aleatorios disponible, se le

recomienda al analista usar estos métodos cuando se realice una simulación.

Pruebas de series

La prueba de Frecuencias

es utilizada para comprobar que los datos estén Uniformemente distribuidos.

La prueba GAP (de huecos o de distancia)

La prueba de autocorrelación

checa la correlación entre números aleatorios y los compara con la deseable correlación de cero.

es usada para asegurar que la recurrencia de cada dígito particular en un flujo de números suceda con un intervalo aleatorio. La prueba KS es entonces usada para comparar estos intervalos con la longitud esperada de huecos.

La prueba Póquer

La prueba de corrida arriba abajo

prueba grupos de números juntos como una mano de poker y compara cada mano con la mano esperada usando la prueba Chi-cuadrada.

es generalmente la prueba principal usada para verificar la dependencia. Esta prueba detecta si un patrón inaceptable estadísticamente que se incrementa o decrece existe entre números adyacentes en un flujo de números.

Prueba de Series

Mide la correlación entre elementos adyacentes en una secuencia de números aleatorios

La prueba consiste en generar N números pseudoaleatorios de los cuales se forman parejas aleatorias entre Ui y Ui+1, es decir, si se generan 10 números, entonces las parejas aleatorias que se pueden formar serian:

simulación

Prueba de Series

Enseguida, se determina la celda a que pertenece cada pareja ordenada, con lo cual se determina la frecuencia observada de cada celda.

Prueba de Corridas

Existen dos versiones de la prueba de corridas:

· Prueba de corridas arriba y abajo (ascendente y descendente).

· Prueba de corridas arriba y abajo de la media(promedio).

Una prueba de Corridas es un método que nos ayuda a evaluar el carácter de aleatoriedad de una secuencia de números estadísticamente independientes y números uniformemente distribuidos. Es decir dado una serie de números determinar si son o no aleatorios.

Prueba de corridas arriba y abajo de la media para números uniformemente distribuidos

El anterior método no es completamente adecuado para evaluar la aleatoriedad de una secuencia

de números veamos porque:

Se tiene la siguiente secuencia de 50

Si tuviéramos que aplicar el anterior método, obtendríamos la siguiente secuencia de signos más y menos:

· Denotaremos con un signo - a aquel número que se encuentre por debajo de la media.

· Denotaremos con un signo + a aquel número que se encuentre por arriba de la media.

Prueba de corridas Arriba y Abajo para números estadísticamente independientes

Si tenemos una secuencia de números de tal manera que a cada uno de los números siga otro mayor la secuencia dada será ascendente (arriba).Si cada número va seguido por otro menor, la secuencia será descendente (abajo).

La prueba de Kolmogorov-Smirnov

Esta prueba compara la pdf (función de densidad de probabilidad), F(x), de la distribución uniforme con el pdf empírico, Sn(x), de una muestra de N observaciones.Por definición

F( x)= x , 0 <= x <=1

Conforme N crece, SN(x) deberá tener una mejor aproximación de F(x),, dado que la hipótesis nula sea verdadera.

La prueba Kolmogorov-Smirnov esta basada en la desviación máxima absoluta entre F(x) y SN(x) sobre el rango de e la variable aleatoria- Esto es, basado en la estadística

Prueba de Póquer

La prueba POKER se utiliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los dígitos en

números aleatorios individuales. Para determinar si los números aleatorios generados cumplen con

las propiedades especificadas ( uniformidad e independencia ) se tendrán las hipótesis siguientes :

Prueba Chi-Cuadrada

La prueba Chi-Cuadrada en lugar de medir la diferencia de cada punto entre la muestra y la desviación verdadera, checa la desviación del valor esperado.

Donde n es el número de intervalos de clase (ejemplo: Oi es el número observado en la clase i^va, y Ei es el número esperado en cada clase i^va , y n es el número de clases. Para una distribución Ei , el número en cada clase esta dado por:

Para clases igualmente espaciadas, donde N es el número total de observaciones. Puede ser mostrado que la distribución de la muestra Chi-Cuadrada esta aproximadamente a la distribución Chi-Cuadrada con n-1 grados de libertad.

Prueba de Autocorrelación

Pruebas de Huecos

La prueba de huecos (GAP) es usada para asegurar que la recurrencia de cada dígito particular en

un flujo de números suceda con un intervalo aleatorio. Se pueden usar dos pruebas para compararestos intervalos con la longitud esperada de los huecos:La prueba Chi-Cuadrada (2) y la prueba Kolmogorov – Smirnov (KS) es entonces usada para

comparar

Correlación es la relación reciproca entre dos o mas cosas (elementos). A veces un grupo de números generados pueden parecer aleatorios, pero existe una relación entre cada cierto números de ellos a partir de alguno específico.

La prueba Chi-Cuadrada (x^2 )

Esta prueba puede ser realizada de dos maneras: considerando a números pseudoaleatorios generados como dígitos o como números reales.

Números pseudoaleatorios considerados como Números reales

Si los números pseudoaleatorios generados son considerados como reales, entonces, para realizar

esta prueba es necesario seleccionar un intervalo (alfa ,beta) el cual debe estar contenido en el intervalo de (0,1), es decir 0 <=alfa<=beta<= 1. Enseguida para cada número pseudoaleatorio generado se pregunta si es o no elemento del intervalo (alfa,beta). Si Uj (número uniforme generado) es elemento de(alfa,beta) Uj+1 hasta U j+1 no son elementos de dicho intervalo y Uj+i+1, vuelve a ser elemento del intervalo (alfa,beta), entonces se tiene un hueco de tamaño i.

Números pseudoaleatorios considerados como Dígitos

La prueba consiste en contar el número de dígitos que aparece entre ocurrencias sucesivas de un mismo dígito. Por ejemplo, 58425 ilustra un hueco de tamaño 3 entre los dos cincos, y así para cada uno de los números pseudoaleatorios, encontrando desde 0,1,2,3... hasta n tamaños de huecos.

La probabilidad de cada una de los tamaños de hueco( i = 0,1,2,3..) se obtiene con la siguiente

expresión:

sin embargo, como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de i mayores o iguales para un valor determinado de n. Tal sumatoria se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión:

La prueba Kolmogorov – Smirnov (KS)

La frecuencia observada (FO) es el número de ocurrencias de los diferentes tamaños de huecos en la serie números pseudoaleatorios.

Para obtener la frecuencia esperada usamos la siguiente expresión:

Una vez calculados fo y fe, calculamos el estadístico X^2c , donde;

El cual se compara con

entonces los números pseudoaleatorios pasan la prueba de la distancia. Es importante señalar que el valor seleccionado de n, debe ser tal que la suma de las frecuencias esperadas de todos los tamaños de huecos agrupados, sea mayor que 5.

Conceptos y parámetros que usamos en autocorrelación Para analizar la correlación general para todos los pares sucesivos de números aleatorios se utiliza la estadística:

Densidad de probabilidad

Para determinar si los números aleatorios generados cumplen con las propiedades especificadas (uniformidad e independencia ) se tendrán las hipótesis siguientes :

La prueba de huecos se utiliza para determinar la significancia de los intervalos entre la repetición de cierto dígito. Si el dígitok va seguido por x dígitos distintos de k, antes de que vuelva a parecer k, se dice que existe un hueco de tamaño x. Por ejemplo:

Donde:

N es el total de números en toda la serie; Tamaño de la muestra.

i es el primer numero donde empieza la amplitud de autocorrelación.

m es la amplitud de la autocorrelación .

M es el entero mayor tal que i+(M+1)*m<N

Este valor, se obtiene de acuerdo a los valores dados cuidando que se cumpla la condición. Es un

parámetro de la formula:

Se puede tomar cualquier números aleatorio; en este caso se toma el número cero, el cual aparece 13 veces y por ende habrá 12 huecos. El primero de longitud 2, el segundo de 19, el tercero de 8, etc. Otro ejemplo tomamos el número cuatro, el cual aparece 15 veces y tendrá 14 huecos. El primero de longitud 16, el segundo de 12, el tercero de 5, etc. Para fines de esta prueba, nos interesa la frecuencia con la que se presentan los diversos huecos.

Cumpliéndose la condición: i + ( M + 1 ) m < M

Desviación estándar de la autocorrelación

La estadística para determinar la significancia de la autocorrelación para la secuencia propuesta de M+1 números es:

Z significancia de la autocorrelación que tiene una distribución Normal, con media cero y una varianza de uno, bajo la suposición de independencia.