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Die Produktregel (Ableitungsregel)
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Ableitungsregel für "Funktionsprodukte"
Kurz: Produktregel
Die Änderung an einer Stelle x um den Wert h bewirkt ...
Mit zwei differenzierbare Funktionen u(x) und v(x) ist auch das Produkt dieser beiden Funktionen differenzierbar. Es gilt:
eine Änderung von beiden Teilfunktionen.
Erinnerung:
An jeder Stelle x ist die Ableitung definiert durch:
Jetzt beschreiben wir f'(x) durch einen Rechenausdruck mithilfe der Funktionen u und v.
Wachsen beide Funktionen durch den Zuwachs von x auf x+h, erhalten wir ein vergrößertes Rechteck der Größe f(x+h), mit dem "Rand" f(x+h)-f(x).
Diesen "Rand" zerlegen wir in drei Teile - und beschreiben diese mit den Teilfunktionen u und v.
Den letzten Summanden können wir vernachlässigen, da das kleine Rechteck beim beim Grenzübergang (h gegen null) vernachlässigt werden kann.
Jetzt sind
wir fertig !
warum ?
Die großen Klammern dürfen wir natürlich weg lassen.
Da jeweils ein Faktor nicht von h abhängt, dürfen wir ihn vor (oder hinter) den Limes schreiben.
Für differenzierbare Funktionen u und v sind dies die Ableitungen u'(x) und v'(x).
Nach dem Grenzübergang (h gegen null) haben wir somit nur noch zwei Summanden.
Beispiele:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Hinweise:
zum ersten Summanden:
zum zweiten Summanden:
Trick bei der Suche Ableitungsregel
Für jeden Wert von x können wir das Produkt aus u(x) und v(x) als Länge und Breite eines Rechtecks interpretieren.
Bisher keine Produktregel:
denn wir haben nur Funktionen abgeleitet, die durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation mit einer Zahl verknüpft waren.
Beispiele:
Summe von Funktionen:
Differenz von Funktionen:
Produkt einer Funktion mit einer Zahl:
Jetzt neu:
Ein Produkt von Funktionen liefert eine neue Funktion!
Beispiele:
1. Allgemein:
2. Quadratfunktion mal Sinusfunktion:
3. Wurzelfunktion mal ganzrationale Funktion:
Definition der Ableitung f'(x)
Erinnerung: Steigung einer Sekanten / Tangenten
Der Zähler entspricht dem Hochwert eines Steigungsdreiecks zu einer Sekanten an das Schaubild im Punkt P(x; f(x)).
Der Nenner entspricht dem zugehörigen Rechtswert.
Der Limes beschreibt den Übergang
von der Sekanten zur Tangenten.