Multiplikation von Vektoren

Multiplikation von Vektoren

-Assoziativgesetz und Distributivgesetz-

Gliederung:

1. Assoziativgesetz

-allgemein

-spezifisch für Vektoren Beweis

2. Distributivgesetz

-allgemein

-spezifisch für Vektoren Beweis

3. Übungsaufgaben

Assoziativgesetz

Distributivgesetz

=Verhalten beim Ausklammern (Ausmultiplizieren)

=Verbindungs-/Verknüfungsgesetz, bei dem die Reihenfolge der Ausführung beliebig ist und Klammern willkürlich gesetzt werden können (-> bei Multiplikation und Addition anwendbar)

(a+b)+c=a+(b+c)=(a+b+c)

(a*b)*c=a*(b*c)=(a*b*c)

c(a+b)=c*a+c*b

a(b+c)=a*b+a*c

spezifisch für Vektoren bezüglich der Multiplikation:

gegeben seien -Vektor a

-zwei reelle Zahlen r,s

es ergibt sich:

r*(s*a)=(r*s)*a

spezifisch für Vektoren:

gegeben seien: 1.Vektor a,b

eine reelle Zahl r

2.Vektor a

zwei reelle Zahlen r,s

es ergibt sich: 1. r(a+b)=r*a+r*b

2. (r+s)*a=a*s+a*r

Daraus ergibt sich:

Beispielrechnung

Beweis (zeichnerisch)

-> Verwendung des Strahlensatzes

Beweis(zeichnerisch)

Daraus ergibt sich:

1.

2.

1.

1

2

3

() ()

1 3

2 2

3 1

Beispielrechnung:

2.

r=3 s=1,5

a b

r=2

b1

b2

b3

a1

a2

a3

1.

)

s*a1

s*a2

s*a3

r*(s*a1)

r*(s*a2)

r*(s*a3)

a1

a2

a3

x2

1

2

3

(2+3)*1

(2+3)*2

(2+3)*3

( ( ) ( )

)

(

1

2

3

( )

a

*3 *1,5=

a *1,5=a *1,5= a

)

( )

(

)

1*3

2*3

3*3

3*1,5

6*1,5

9*1,5

r(*s*a)=r*(s* )=r* =

= = (r*s)*

3

2

1

1+3

2+2

3+1

1

2

3

2(1+3)

2(2+2)

2(3+1)

3

6

9

r*(a1+b1)

r*(a2+b2)

r*(a3+b3)

a1+b1

a2+b2

a3+b3

r*a1+r*b1

r*a2+r*b2

r*a3+r*b3

2. a( ) r=2 s=3

(2+3)*( )=( )

=( )=( )+( )

=2( )+3( )=( )+( )=( )

r*a1+s*a1

r*a2+s*a2

r*a3+s*a3

(r+s)*a1

(r+s)*a2

(r+s)*a3

sa

(r+s)a=ra+sa

(

) ( )

(r*s)*a1

(r*s)*a2

(r*s)*a3

a1

a2

a3

=(r*s)*a

r*(a+b)=r*(( )+( ))

=r*( )=( )=( )

=( )+( )=r( )+r( )

=r*a+r*b

r(a+b)

2*1

2*2

2*3

3*1

3*2

3*3

2*1+3*1

2*2+3*2

2+3+3*3

(r+s)*a=(r+s)*( )

=( )=( )

=( )+( )=r( )+s( )

=r*a+s*a

= a

2(( )+( ))=2( )=( )

=( )=( )+( )

=2*( )+2*( )=( )+( )=( )

2*1

2*2

2*3

2*3

2*2

2*1

2*1+2*3

2*2+2*2

2*3+2*1

(

)

4,5

9

13,5

rb

r*b1

r*b2

r*b3

r*a1

r*a2

r*a3

a1

a2

a3

b1

b2

b3

r*a1

r*a2

r*a3

s*a1

s*a2

s*a3

a1

a2

a3

a1

a2

a3

(r*s)*a=r*(s*a)

4

8

12

1

2

3

3

2

1

1

2

3

5

10

15

2

4

6

ra

3

6

9

2

4

6

a+b

a

b

)

(

a *1,5 *3=

a *3= a

1*1,5

2*1,5

3*1,5

1,5*3

3*3

4,5*3

)

(

)

(

()

1

2

3

auch "Klammerngesetz"

ra

a

1

r+s

r

a*s

entspricht: r*a+r*b

entspricht: r*a+s*a

4,5

9

13,5

= a

)

(

a

x1

r*s

r

1

O

s

Keine Beeinflussung des Ergebnisses auf Grund der Multiplikationsreihenfolge

Übungsaufabe

1. Vereinfache die Aufgabe.

2. Gib an welches Rechengesetz/welche Rechengesetze du

verwendet hast.

a( ) b( )

13

9

0,5

5

3

-2

a) 2(a+b)

b) 1/4(7*a)

c) (7+9)*b

d) (a+b)*9

36

24

-3

5

5,25

-3,5

Lösungen:

a) Distributivgesetz => ( )

b) Assoziativgesetz => ( )

c) Distributivgesetz => ( )

d) Distributivgesetz => ( )

80

48

-32

162

108

-13,5