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8.1 Propiedades de los estimadores puntuales

Sesgo

Sea θ ̅ un estimador de θ. El sesgo de θ ̂ es la diferencia entre su media y θ es decir:

Sesgo (θ ̂)= E((θ)) ̂-θ

en terminos generales el uso de un estimador consistente con una cantidad infinita de informacion sobre la muestra da el restado correcto.

Se utilizan estimadores consistentes en los casos en los que es difícil o imposible obtener estimadores insesgados

La media muestral, la varianza muestral y la proporción muestral son estimaciones sesgados de sus correspondientes parámetros poblacionales :

La media muestral es un estimador insesgado de µ. [E(x ̅ )=µ]

La varianza muestral es un estimador insesgado de σ^2. [E(s^2 )=σ^2 ]

La proporción muestral es un estimador insesgado de P. [E(p ̂ )=P]

Estimador consistente

Se dice que un estimador puntual θ ̂es un estimador consistente del parámetro θ si la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra si la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Es lo mismo que decir que el sesgo disminuye conformé aumenta el tamaño de la muestra.

Estimador insesgado

Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de un parámetro poblacional si su valor esperado es igual a ese parámetro es decir si:

E(θ)= θ

estimador eficiente

utilizando la varianza como medida de

la concentracion inducimos la eficiencia de un estimador

como criterio para inferir uno a otro

Cualquier inferencia extraída de la población se basa en estadísticos muéstrales. La elección de los estadísticos adecuados dependerá de cual sea el parámetro poblacional que interese. El valor de ese parámetro será desconocido y uno de los objetivos del muestreo es estimar su valor.

A veces el θ ̂ sobreestima el parámetro y otras veces lo subestima, si se repite muchas veces el método de muestreo, entonces, en promedio, el valor de un estimador insesgado que se obtenga es igual al parámetro poblacional. Es decir manteniéndose todas las constantes es deseable que un estimador puntual tenga la propiedad de ser insesgado.

Entonces θ ̂ es un estimador insesgado de θ

Estimador puntual y estimación puntual

Consideremos un parámetro poblacional como la media poblacional µ o la proporción poblacional P. Un estimador puntual de un parámetro poblacional es una función de la información de la muestra que genera un único numero llamado estimación puntual.

Por ejemplo la media muestral X ̅ es un estimador puntual de la media poblacional, µ, y el valor que toma X ̅ para un conjunto dado de datos se llama estimación puntual, x ̅.

estimador mas eficiente y eficiencia relativa

Sean θ ̅_(1 )y θ ̅_2, dos estimaciones insesgados de θ, basados en el mismo nunmero de observaciones muestrales. En ese caso:

Se dice que θ ̅_, es mas eficiente que θ ̅_2 si valor de (θ ̅_1)<σ^2(θ ̅_2)

La eficiencia relativa de θ ̅_1con respecto a θ ̅_2 es el coeficiente de sus varianzas, es decir:

eficiencia relativa=(σ^2 (θ ̅_2))/(σ^2 (θ ̅_1))

si hay varios estimadores insesgados de un parametro, el estimador insesgado que tiene la menor varianza es el estimador mas eficiente

o el estimador insesgado de varianza minima

Estimador y estimación

Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoria que depende de la información de la muestra; su valor proporciona aproximaciones a este parámetro desconocido. Un valor especifico de esta variable aleatoria se llama estimación.

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