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Es el creador de la geometría analítica.
Fue el primero en utilizar las coordenadas cartesianas.
Expresó por primera vez la duda sobre la posibilidad de solución a la duplicación del cubo.
Resolvió el problema de Pappus mediante geometría analítica.
Introdujo el segmento unidad y la construcción de la cuarta proporcional.
Extendió a las secciones cónicas el método de las normales.
Mostró que una ecuación tiene tantas raíces positivas como cambios de signos hay en la serie de coeficientes y tantas negativas como repeticiones de signos.
Dedujo que la ecuación de tercer grado se resuelve por radicales cuadráticos.
Estableció que una ecuación algebraica puede tener tantas raíces como unidades tiene su potencia mayor.
Distinguió curvas geométricas y mecánicas.
Utilizo el símbolo infinito.
Elaboro las razones por las que el mundo debe ser accesible a las matemáticas.
Fue el primero en utilizar la notación exponencial, utilizada hoy día, aunque solo para exponentes naturales.
Descubrió la formula C+V=A+2 aunque generalmente se le atribuye a Euler.
Determino el radio y el centro de un circulo que debe cortar la curva en dos puntos consecutivos.
Formuló ( antes que Galileo) el principio de inercia.
En óptica se le debe la teoría corpuscular de la luz y las leyes de refracción.
Introdujo las ultimas letras del abecedario para las cantidades desconocidas y las primeras para las conocidas.
Creo una técnica para expresar las leyes de la mecánica mediante formulas algebraicas.
Su familia era de origen noble, se convirtió en un niño pálido y serio que siempre deseó conocer la causa de todas las cosas que existían bajo el Sol. Estudió con los jesuitas y el director se encariñó con René por su debilidad y decidió ayudarlo para educar su mente.
Cursó estudios de lógica, ética, metafísica, historia, ciencias, literatura, álgebra y geometría.
En cuanto recibió el diploma de sus estudios los abandonó para aspirar al conocimiento de sí mismo y de los grandes libros del mundo (se retiró 2 años en soledad para estudiar matemáticas).
Johann Carl Friedrich Gauss Acerca de este sonido (Gauß) (?·i) (Brunswick, 30 de abril de 1777-Gotinga, 23 de febrero de 1855) fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
En el siglo XVI, tras la recuperación de la Crisis de la Baja Edad Media, en economía se produce lo que se conoce como la Revolución de los Precios, coincidente con la Era de los Descubrimientos que permitió una expansión europea posibilitada en parte por las ventajas tecnológicas y de organización social.1 Pocos hechos cambiaron tanto la historia del mundo como la llegada de los españoles a América y la posterior Conquista y la "apertura" de las rutas oceánicas que castellanos y portugueses lograron en los años en torno a 1500. El choque cultural supuso el colapso de las civilizaciones precolombinas. Paulatinamente, el océano Atlántico gana protagonismo frente al Mediterráneo,2 cuya cuenca presencia un reajuste de civilizaciones: si en la Edad Media se dividió entre un norte cristiano y un sur islámico (con una frontera que cruzaba al-Ándalus, Sicilia y Tierra Santa), desde finales del siglo XV el eje se invierte, quedando el Mediterráneo Occidental, (incluyendo las ciudades costeras clave de África del Norte) hegemonizado por la Monarquía Hispánica (que desde 1580 incluía a Portugal), mientras que en Europa oriental el Imperio otomano alcanza su máxima expansión.
En los años finales del siglo XVIII y los primeros del siglo XIX se derrumba el Antiguo Régimen de una forma que fue percibida por los contemporáneos como una aceleración del ritmo temporal de la historia, que trajo cambios trascendentales conseguidos tras vencer de forma violenta la oposición de las fuerzas interesadas en mantener el pasado: todos ellos requisitos para poder hablar de una revolución, y de lo que para Eric Hobsbawm es La Era de la Revolución.16 Suele hablarse de tres planos en el mismo proceso revolucionario: el económico, caracterizado por el triunfo del capitalismo industrial que supera la fase mercantilista y acaba con el predominio del sector primario (Revolución industrial); el social, caracterizado por el triunfo de la burguesía y su concepto de sociedad de clases basada en el mérito y la ética del trabajo, frente a la sociedad estamental dominada por los privilegiados desde el nacimiento (Revolución burguesa); y el político e ideológico, por el que se sustituyen las monarquías absolutas por sistemas representativos, con constituciones, parlamentos y división de poderes, justificados por la ideología liberal (Revolución liberal).
-Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría) Comprende quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de esos problemas habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la corte del emperador Federico II.
-Carta a Teodoro. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el Liber Quadratorum al francés desde el original latino de la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es geométrico-algebraico. Se trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que tenga un lado sobre la base del triángulo y otros dos lados sobre los restantes de éste. Lo reduce a una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en el sistema sexagesimal.
-Liber Quadratorum. (El Libro de los Números Cuadrados) Consta de veinte proposiciones. Estas no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro, un matemático de la corte de Federico II.
En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y compás.
Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra (disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.
En 1801 publicó el libro Disquisitiones arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita de Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.
En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.
En 1835 Carl Friedrich Gauss formularía la Ley de Gauss, o teorema de Gauss. Esta ley sería una de sus contribuciones más importantes en el campo del electromagnetismo, y de ella derivarían dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell.
El Teorema de la divergencia de Gauss, de 1835 y publicado apenas en 1867, es fundamental para la teoría del potencial y la física. Coloca en un campo vectorial la integral del volumen para la divergencia de un campo vectorial en relación con la integral de superficie del campo vectorial alrededor de dicho volumen.
-Liber Abaci (Libro del Ábaco). Fue escrito en 1202 y revisado y considerablemente aumentado en 1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones graduales,3 de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos. Todas las fracciones se presentan a la manera egipcia, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción \textstyle \frac{2}{3},4 que no se descompone. Incluye una tabla para descomposición en fracciones unitarias que se lee derecha a izquierda, como en las lenguas semíticas.
-Practica Geometriae. (Geometría práctica) Está dividido en siete capítulos en los que aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es la obra más avanzada en su tipo que se encuentra en esa época en Occidente.
EDAD CONTEMPORÁNEA
Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del análisis matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento del análisis complejo y de la geometría diferencial.
Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado. Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto.
En el siglo XII la religión fue el eje sobre el que giraron los acontecimientos más importantes en Europa. Tuvieron lugar la Segunda Cruzada, la Tercera Cruzada. La segunda de las cruzadas fue un fracaso y la tercera tuvo un relativo éxito al tomar bajo poder cruzado las ciudades de San Juan de Acre o Jaffa y la isla de Chipre, la tercera destaca también por ser el enfrentamiento de dos de los mayores genios militares de la Edad Media, Ricardo I, conocido como Ricardo Corazón de León y Saladino, gran caudillo sarraceno, la paz llegó en 1192, cuando Ricardo y Saladino pactaron que Jerusalén seguiría bajo control musulmán aunque se permitiría el libre acceso de peregrinos cristianos.
El Renacimiento del siglo XII se refiere a una serie de cambios económicos, sociales, políticos, ideológicos y culturales que afrontó Europa durante el siglo XII. Tales cambios tendían a cuestionar el viejo orden agrario y rural del feudalismo como consecuencia de la irrupción de un nuevo agente económico y social: la burguesía mercantil y artesanal de las resurgientes ciudades. Incluía una revitalización intelectual de Europa con fuertes raíces filosóficas y científicas, que iniciaron el camino a los posteriores logros literarios y artísticos de la Edad Media final y de los inicios de la Edad Moderna: el humanismo y el Renacimiento de los siglos XV y XVI y la revolución científica culminada en el siglo XVI.
Antes de adentrarnos en la historia de ambas ramas de las Matemáticas veamos sus respectivas definiciones:
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. ...
La geometría es la parte de las matemáticas que estudia la extensión, la forma de medirla, las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y figuras, y la manera cómo se miden.
Los primeros elementos de lo que hoy conocemos como Álgebra lineal se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el Papiro Rhind, escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650 a.C.
Se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita es un ''ibis''.
Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal.
Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia entre os conceptos de curva y de función de una variable, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables o como el conjunto de los ceros de una función de tres variables).
Galois crea la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en (su corta) vida.
En 1813 Simon Antoine Jean L'Huillier se dio cuenta de que la fórmula de Euler se modificaba para un poliedro no convexo, con la forma, por ejemplo, de un sólido con agujeros (como el toro: S-A+F=2-2g, siendo g el número de agujeros).2 Éste es el primer cálculo de un invariante topológico que permitó clasificar las superficies del espacio.
La cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing fue el primer ejemplo de superficie no orientable.
Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometría de una superficie proyectiva con una sección cónica adjunta, la aportación más importante de Klein a la Geometría es su famoso Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de Geometría.
Edad Antigua.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles.
En lógica y matemáticas, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, son un sistema axiomático concebido para formular la teoría de conjuntos. Normalmente se abrevian como ZF o en su forma más común, complementados por el axioma de elección, como ZFC. Resultaron fundamentales para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas.
Edad Media.
El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð fue publicada en el siglo XII.
A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos, cuál es su dimensión, cuál es su geometría.
Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.
Una vez terminadas las historias del Álgebra lineal y de la geometría pasamos a ver los personajes importantes en estas ramas de las matemáticas
Fibonacci, mencionado anteriormente, estudió el sistema no lineal en su obra Liber Quadratorum publicada en 1225:
El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una conferencia en la Universidad de Gotinga para completar su habilitación (grado que le permitiría optar a una plaza de catedrático). El tema de la conferencia fue la Geometría, a elección de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo título fue Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría), pasa por ser una de las más celebradas de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De entre los presentes se dice que sólo Gauss fue capaz de comprender su contenido, y hay que decir que le entusiasmó.
En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qué problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombre variedad hace referencia a las varias coordenadas que variarían para ir obteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades de dimensión 2, mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, y aun los puntos las de dimensión 0.
Leonardo de Pisa is live, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci,pascal era mellor italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.
Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes1 más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber abaci (abaci en el sentido de aritmética y no del ábaco instrumento). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo entre el público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
Edad Moderna.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.
Edad Comtemporánea.
Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.
Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica.
EDAD ANTIGUA
Euclides (330-275) fue el autor de los Elementos de geometría, una de las obras más famosas de la historia del conocimiento científico.
El logro más importante de Eratóstenes fue el de calcular por primera vez el diámetro terrestre.
Se le atribuye a Pitágoras, haber transformado las matemáticas en una disciplina liberal, que utilizó como método la formulación abstracta independientemente del contexto material. El famoso teorema de Pitágoras, que establecer la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, es un claro ejemplo de una formulación abstracta.
EDAD MODERNA
La Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII.
Descartes crea la Geometría cartesiana, propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en geometría.
Por otra parte los matemáticos gregos no se preocuparon por los problemas lineales sino que, por ejemplo, la solución general de la ecuación de segundo grado aparece en Los elementos de Euclides.
Por su parte, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos de pensamiento lineal.
Esta obra
fue compuesta por Chuam Tsanom en el 152 a.C. y se incluyeron en él todos los conocimientos matemáticos de la época.
Siguiendo lo anteriormente dicho, yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría.
En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica.
La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.
Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera
Video subtitulado de la geometria no euclidiana
Lobachevski
En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría.
Galois, quien desarrolló la teoría de grupos siendo estudiante.
Cardano en su ''Ars Magna'' muestra una regla para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a la cual llama ''regula de modo'', y base de la Regla de Cramer.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó su libro La teoría lineal de extensión.
Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i^2 = -1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias: i, j y k a los números reales y tal que i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicación: la Tabla de Cayley.
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa) (métodos cuantitativos).
En la obra que hemos tratado previamente (Nueve capitulos sobre el Arte Matemático) aparece un sistema lineal y como resolverlo por la regla de ''fan-chen'' que es como el método de eliminación gaussiana de hoy en día. Dicho sistema era el siguiente:
Los inicios de la teoría de determinantes de matrices datan del siglo II a.C. con los matemáticos chinos. En 1683 Seki escribió el manuscrito ''Método de resolver problemas disimulados'', introduce los determinantes y proporciona métodos generales para calcularlos, hasta de orden 5.
Lagrange, menciona por primera vez la interpretación de determinante como volúmen.
Video sobre los espacios vectoriales
Video sobre la aplicación del álgebra lineal en la vida ''cotidiana''
Retrato de Seki. Autor de Método de resolver problemas disimulados
El primero en usar el término ''matriz'' fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850, que la lo definió como arreglo cuadrilongo de términos. Contactó con Cayley que hemos mencionado antes, que publicará en 1853 una nota con la inversa de una matriz. Más tarde, en 1859, publica Memoir on the theory of matrices, la cual contiene la primera definición abstracta de matriz. Asimismo, Cayley desarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz ''invertible''.
Posteriormente habrán aportaciones de matemáticos islámicos y europeos, que siguieron cultivando el pensamiento lineal. Un ejemplo de estos matemáticos será Fibonacci.
Dos eventos cruciales en el desarrollo del álgebra lineal son: el descubrimiento de los números complejos y la primera prueba del llamado teorema fundamental del álgebra.
Una vez terminado el álgebra lineal vamos a dar paso a la evolución histórica de la geometría.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.
Previamente ya hemos visto la definición de esta rama de las matemáticas, por lo que comencemos con la explicación.
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.
Pueblo Egipcio
Operación de números complejos
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrario. El ejemplo más claro sería la firmación de que una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. Que resulta evidente.
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
En esa época aparecen las nociones de vector y espacio vectorial con Hamilton, Arthur Cayley y Hermann Grassmann. Además este último introduce lo que para nosotros es el producto vectorial. Asimismo, se introducen las ideas de independencia lineal de un conjunto de vectores, la dimesión de un espacio vectorial, y la prueba de la clásica identidad:
Además en estos postulados se encuentra el famoso Teorema de Pitágoras: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados"
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás.
Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo, construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado y dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
Apolonio de Perga y una clasificación de las curvas cónicas
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Hasta el s.XVIII el álgebra era el arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. D'Alembert, matemático francés, descubre que las soluciones de un sistema Ax=b forman una variedad lineal. Asimismo, Euler, Lagrange y el propio D'Alembert se dan cuenta que la solución general del sistema homogéneo Ax=0 es una combinación lineal de algunas soluciones particulares
Historia del Álgebra lineal:
http://dcb.fi-c.unam.mx/users/normapla/Presentacion.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3n
Historia de la Geometría:
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm
http://www.uco.es/~ma1marea/profesor/primaria/geometri/matemati/indice.htm
Personajes influyentes en la Geometría:
https://factoriahistorica.wordpress.com/2011/02/12/historia-de-la-geometria-y-las-matematicas/
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa
Personajes influyentes en el Álgebra lineal:
http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_5.html
Descartes:
https://es.wikipedia.org/wiki/Edad_Moderna
https://prezi.com/2eeach3grzfo/los-aportes-de-descartes-a-la-matematica/
http://angelagp95.blogspot.com.es/2013/01/vida-de-descartes-y-sus-aportaciones.html
Leonardo de Pisa:
https://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XII
https://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento_del_siglo_XII#Cambios_hist.C3.B3ricos_en_la_Europa_del_siglo_XII
Carl Friedrich Gauss:
https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://es.wikipedia.org/wiki/Edad_Contempor%C3%A1nea#La_.22Era_de_la_Revoluci.C3.B3n.22_.281776-1848.29
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