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Copy of Equações Polinomiais
eQUAÇÕES pOLINOMIAIS
Lembrando que:
Observação:
pois 2 . 2 = 4
pois 3 . 3 = 9
pois 11 . 11 = 121
???
O que são numeros complexos?
pORTANTO:
=???
O número complexo z pode ser escrito da forma a+bi
com a, b números reais;
e i o numero imaginário
i é conhecido como numero imaginario, e representa a raiz de quadrada de -1
Exemplos:
Teorema Fundamental da Algebra
multiplicidade de uma raiz
Raizes Complexas
Resolução:
Uma das raízes já encontramos (x=0).
Raizes Racionais
obrigado a todos!!!
Equação polinomial ou equação algebrica é toda equação do tipo p(x)=0
3
2
2x -x -x = x.(2x -x-1) ⇒ colocando x em evidência
q
n
p
n
o
n-1
Se uma Equação polinomial
de coeficientes Inteiros admite raiz racional (em que p, e q são inteiros, com p e q primos entre si), então p é divisor de a e q é divisor de a
p(x)=a x +a x +...+a x+a =0
n-1
1
0
n
As outras duas saem da equação: 2x -x-1=0 => r =1 e r =-1/2.
2
1
2
p(x)= a (x- )(x- )...(x- )(x- )
2
n-1
n
1
n
4 =2
-1
O teorema fundamantal da algebra é uma proposição que pode ser enunciada da seguinte forma: Toda equação polinomial de grau n, com n 1, possui pelo menos uma raiz complexa.
3
2
Portanto, o polinômio 2x -x -x, na forma fatorada é:
2.x.(x-1).(x+(1/2)).
5
-1 .
-1 = i . i . i . i .i = i
por fim
2
assim:
2
= i . i .i
=(-1).(-1). i
= 1 . i = i
-1 .
-1 = i . i = -1
-1 .
2
-1 .
= i = -1
-1 .
4
= i . i
=(-1).(-1) = 1
2
-1 .
-1 = i . i . i . i = i
2
-1 .
= i . i
= -1 . i = -i
2
-1 .
-1 = i . i . i = i
e,
e então
-1 .
3
2
Fazendo x.(2x -x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x -x-1=0.
2
n
n-1
1
0
- a , a , ..., a , a são números reais
- n é um número natural
- x é variavel complexa
- o grau da equação polinomial é o grau do polinômio p(x)
n-1
n
p(x)=a x +a x +...+a x+a =0
n-1
1
n
0
º
Além disso, podemos mostrar que todo polinômio de grau n, com n 1, pode ser decomposto em fatores do 1 grau da seguinte forma
2
Resolução: Fazendo x -7x+10=0, obtemos as raízes r =5 e r =2.
Logo: x -7x+10 = (x-5)(x-2).
1
2
Com base nesse teorema, podemos mostrar que toda equação polinomial de grau n, com n 1, possui exatamente n raizes complexas.
9 =3
121 =11
= i
-1
a raiz da equação polinomial p(x)=0 é todo número , tal que p( )=0.
0
1
n-1
Assim, dado
p(x)=a x +a x +...+a x+a =0
e sabendo que z=a+bi é a raiz
da equação p(x)=0, temos:
p(z)=0 e p(z)=0
n-1
n
2
Resolução: Fazendo x -4=0, obtemos as raízes r =2 e r =-2.
Logo: x -4 = (x-2)(x+2).
1
2
em que , , ..., , são as raizes de p(x).
2
1
n-1
n
Fatorar o polinômio P(x)=x -4.
2
n
n-1
p(x)=a x +a x +...+a x+a =0
n-1
n
0
1
Se uma Equação polinomial
de coeficientes reais
admite como raiz um
numero complexo z=a+bi,
então também admite o
numero z=a-bi com a
mesma multiplicidade de z.
Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x -x -x.
3
2
Dada a equação polinomial p(x) = 0 de grau n, dizemos que é a raiz de multiplicidade k se, das n raízes da equação, somente k forem iguais a
2
Fatorar o polinômio P(x)=x -7x+10.