Baumdiagramm
Eure Aufgabe
Allgemeine Rechenregel:
Bezug auf die erste Aufgabenstellung
Unterschied zwischen Binomialer- und Multinomialerverteilung
1. Rechenweg
- Urne mit roten und blauen Kugeln
- Mehrfach mit Zurücklegen
Urne mit roten, blauen und grünen Kugeln
- Insgesamt 10 Kugeln
- Davon 3 rote, 2 blaue und 5 grüne Kugeln
- Vorgang wird 3 mal mit Zurücklegen wiederholt
- Wahrscheinlichkeit bei 3 Zügen genau 2 mal eine rote Kugel zu ziehen
Start
k=2
n=3
Start
_
0,3
3
10
p=
7
10
=
_
r
3
10
_
r
=0,7
Binomialverteilung -> "Bi" = Zwei (lateinisch)
-Zufallsexperimente mit 2 Ausgängen
Multinomialverteilung -> "Multi" = Viel (lateinisch)
-Zufallsexperimente mit mehr als zwei/mehreren Ausgängen
7
10
q=
r
Eine Urne enthält 5 rote, 4 weiße und 3 blaue Kugeln. Eine Kugel wird
zufällig aus der Urne gezogen, ihre Farbe notiert und dann wieder zurückgelegt.
a) Bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass nach 6 Zügen insgesamt 3 rote, 2 weiße und 1 blaue Kugel gezogen werden.
b) Wie ändert sich die Lösung, wenn nur rote und nicht-rote Kugeln unterschieden werden?
_
r
_
r
1
2
.
= 0,189
.
0,7
0,3
3
2
P(X=2)=
Urne mit 3 verschieden farbigen Kugeln
... .... ..... ..... ...... ...... ...... ........
Vergleich von Erwartungswert und Varianz zwischen Binomial- und Multinomialverteilung
Was ändert sich?
Beispiel:
Formel der Multinomialverteilung:
-Formel für den Erwartungswert und für die Varianz sind identisch
2. Baumdiagramm
.
= 60%
3
5
- Insgesamt 5 Kugeln
- 3 rote Kugeln =
- 2 blaue Kugeln=
Erwartungswert: n p
Bezug auf die erste Aufgabenstellung mit eigenem Beispiel
.
= 40%
2
5
Varianz: n p q
Quellen:
Youtube: 2 Videos zur Binomial- und Multinomialverteilung
https://de.serlo.org/mathe/stochastik/uebersicht-aller-artikel-zur-stochastik/bernoulli
experimentjj
http://www.poissonverteilung.de/binomialverteilung.html
https://www.google.de/search?q=multinomialverteilung+beispiel&biw=1301&bih=635&source=lnms&sa=X&ei=ZlJ0VcK9MobQswGm_JvABA&ved=0CAUQ_AUoAA&dpr=1
http://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialverteilung
Mathe Materialien aus dem Unterricht
- Urne mit insgesamt 5 Kugeln
- Davon 3 rote und 2 blaue
- Vorgang wird 3 mal mit Zurücklegen wiederholt
- Wahrscheinlichkeit bei 3 Zügen genau 2 mal eine rote Kugel zu ziehen
+5 grüne Kugeln
Start
3
5
=0,6
2
5
=0,4
= 30%
3
10
n=3
- Insgesamt 10 Kugeln
- 3 rote Kugeln=
- 2 blaue Kugeln=
- 5 grüne Kugeln=
p=
3
5
=20%
2
10
q=
2
5
k=2
=50%
5
10
.
P(X=2)=
.
3
2
2
1
0,6
0,4
=0,432
2. Rechenweg
Multinomialverteilung
Start
_
5
10
_
3
10
_
2
10
Formel der Multinomialverteilung:
Multinomialkoeffizient
2. Rechenweg
Beispiel:
-Insgesamt 10 Kugeln
-3 rote, 2 blaue, 5 grüne
-Nach 3 Zügen
-> 1 rote, 1 blaue und 1 grüne Kugel zu erzielen
3
2
1
n=3
p =0,3 p =0,2 p =0,5
k =1 k =1 k =1
3
2
1
.
=0,18
.
1
9
50
1
Formel der Multinomialverteilung:
1
3!
0,3 0,2 0,5 =
1! 1! 1!
Binomialverteilung
Gliederung
Formel der Binomialverteilung:
Zufallsexperiment:
- 1 Urne
- Rote und blaue Kugeln
- Mehrfach mit Zurücklegen durchgeführt
http://www.matheboard.de/archive/35368/thread.html
Bernoulli Experiment
Allgemein:
Zufallsvariable: X
Anzahl der möglichen Anordnungen: Binomialkoeffizient ( n über k)
Erfolgswahrscheinlichkeit: p
Misserfolgswahrscheinlichkeit (Gegenwahrscheinlichkeit): (1-p) oder q
Gesamtanzahl der Versuche: n
Gesamtanzahl der Treffer: k
Häufigkeit des Nichtauftretens: n-k
1. Binomialverteilung
1.1 Bernoulli- Experiment
1.2 Voraussetzungen und Formel der Binomialverteilung
2. Urne mit drei verschieden farbigen Kugeln
2.1 Was ändert sich?
2.2 Veranschaulichung anhand Baumdiagramme
3. Multinomialverteilung
3.1 Unterschied zwischen Binomialen- und Multinomialenverteilung
3.2 Vergleich von Erwartungswert und Varianz zwischen Binomial- und Multinomialverteilung
Voraussetzungen:
1. Beim Einzel-Experiment gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse.
2. Das Einzel-Experiment wird n-mal voneinander unabhängig wiederholt.
3. Damit die Formel der Binomialverteilung angewandt werden darf: Nur die Anzahl der Treffer interessiert, und nicht, an welchen Stellen die Treffer auftreten.