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수학 창작물 대회

시에르핀스키 삼각형 만들기

시에르핀스키 삼각형은 다음과 같은 방법을 통해 얻을 수 있다:

1.정삼각형 하나에서 시작한다.

2.정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다. 이 작은 정삼각형을 제거한다.

3.남은 정삼각형들에 대해서도 2.를 실행한다.

4.3.을 무한히 반복한다.

이것을 반복하면 다음과 같은 도형이 얻어진다.(무한반복)

시어핀스키의 삼각형

프렉탈 도형

시어핀스키 삼각형은 1917년 폴란드의 수학자인 와크로 시어핀스키가 고안했다. 이 삼각형을 그리는 방법은 정삼각형을 한 개 그리고, 정삼각형의 각 변의 가운데 점을 연결하여 합동인 삼각형 4개를 그린 후 가운데 삼각형을 없애는데, 이 규칙을 반복해서 만들어지는 도형을 시어핀스키 삼각형이라고 한다. 시어핀스키 삼각형 안에는 무수히 많은 삼각형이 있지만, 과정의 단계 수가 증가함에 따라 삼각형의 넓이는 0에 가깝게 된다.

프렉털(Fractal)

길이 1인 선분 AB를

그리고, 그것을 3등분해서

AP, PR, RB로 나눈다.PR을 한 변

으로 하는 정삼각형 PQR을 PR 위에 그리고, 변 PR을 제거하면 꺾인 선이 만들어진다. 이 조작을 모든 선분에 적용했을 때 얻어지는 곡선이다.

Ex) 코흐의 곡선

일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙털 구조라고 한다. 브누아 망델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙털 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상 공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다.

삼각형의 성질

시어핀스키의 카펫

1.

시에르핀스키 카펫(Sierpinski carpet)은 프랙털 도형의 일종이다.

정사각형을 그리고 가로로 3등분, 세로로 3등분하여 9개의 정사각형을 만든 뒤, 가운데에 있는 정사각형을 제거하는 것을 반복한다.

시에르핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 이라 할 때, 두 번째 과정에서의는 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 길이는 가 된다.

2.

시에르핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 라 할 때, 두 번째 과정에서는 가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는

이 된다.

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