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Supongamos un contador que registra un número de sucesos que han ocurrido, tal como el número de visitas a una página web. Con cada visita el contador se incrementa en una unidad.
Así, el número medio de sucesos hasta el instante t es
E[N(t)] = E[N(t + 0) − N(0)] = λt.
Var(Nt) = λt.
Para cualquier intervalo de la longitud t:
E[N(s + t) − N(s)] = E[N(t)] = λt.
Proceso Homogeneo
PROCESO DE POISSON
Proceso de Poisson
No Homogeneo
De la definición está claro que el proceso es de incrementos estacionarios, y los incrementos siguen una distribución de Poisson de parámetro λt para intervalos de tiempo de amplitud t
Los postulados que satisfacen las probabilidades de transición:
En los postulados (M1) y (M2) se asume que si el proceso comienza en el estado i , entonces en un intervalo pequeño de tiempo las probabilidades de incremento y decremento poblacional son proporcionales a la longitud del intervalo.
A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, λ(t). Formalmente esto significa que un Proceso de Poisson no homogéneo es un proceso debe contar que satisface:
Un proceso de conteo {N(t), t ≥ 0} se dice de Poisson (homogéneo) de la intensidad (tasa)
λ > 0, si
1. N(0) = 0.
2. Es de incrementos independientes.
3.
El proceso de nacimiento y muerte es una cadena de Markov de tiempo continuo en el que sus estados representan el tamaño de la población . Este proceso ocurre frecuentemente en física, sistemas biológicos, modelos de población, teoría de colas, entre otras. Se pueden estudiar algunos casos especiales.
Supongamos que X(t) es un proceso de Markov con espacio de estados 0,1,2,… y que sus probabilidades de transición Pij(t) son estacionarias , es decir:
1.
2. Los incrementos en intervalos ajenos son independientes.
3.
4.
Denotemos con N(t) el número marcado por el contador en el instante t. N(t) es una variable aleatoria, ya que las personas no visitan la web a intervalos de tiempo fijados sino en tiempos aleatorios.
A {N(t), t ≥ 0} se le denomina proceso de conteo, siendo un caso especial de proceso estocástico.
Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo.
Para procesos homogéneos hay una densidad media λ . Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo t es λ/t .
El tiempo entre dos sucesos de un proceso de Poisson con intensidad media λ es una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro λ .
Proceso de Poisson
Características
Determina la Probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo
Ocurren con una tasa media conocida donde cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el último
Son procesos con ocurrencia infinita
Como se suman variables aleatorias toma la forma de una distribución normal
Proceso de Poisson
Condiciones
ESTACIONARIA: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de la misma longitud.
Proceso
Homogeneo
Proceso de Poisson
Fue un físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría diferencial y la teoría de probabilidades.
"Ley de los sucesos raros" es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros que ocurren a lo largo del tiempo.
GRACIAS POR SU
ATENCION
INTEGRANTES:
Isabela De La Rosa
Levis Linarez
Edison Perdomo
Engelberth Torres
Zurisaday Asaro