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Transcript

Métodos numéricos para la obtención de valores y vectores propios

M. I. Jaime Alfonso Reyes Cortés

Introducción

1

Valores y vectores característicos

Valores y vectores propios

Los valores y vectores característicos desempeñan un papel importante en muchos problemas físicos.

Por ejemplo: la estabilidad de una avión o las frecuencias naturales de la vibración de una viga, entre otras, se determinan con el cálculo de los valores característicos.

Valores y vectores característicos

Sea A una matriz de transformación de orden n, se dice que λ es un valor propio o valor característico o autovalor o eigenvalor si existe un vector no nulo x tal que

Definición

(1.1)

Al vector x se le llama vector propio o vector característico o autovector o eigenvector

Ecuación característica

El polinomio característico ​p​ de A se define como:

(1.2)

Ecuación característica

Al igualar la ecuación (1.2) a cero se le denomina ecuación característica y las raíces del polinomio resultan ser los valores característicos de dicha ecuación, es decir,

(1.3)

Obtención de los vectores característicos

Vector característico

Una vez que cada uno de los valores propios han sido obtenidos, el correspondiente vector propio x se puede determinar al resolver el sistema

(1.4)

Ventajas y desventajas

La obtención de la ecuación característica para matrices de orden superior a tres se vuelve complicada con los métodos tradicionales, por lo que es necesario apoyarnos de métodos numéricos como el método de Krylov, para obtener la ecuación característica, o de métodos de aproximaciones sucesivas, como lo son los métodos de las potencias y de las potencias inversas, para obtener el valor propio máximo y el valor propio mínimo, respectivamente. Una de las ventajas de estos últimos métodos es que simultáneamente se obtiene su correspondiente vector característico asociado.

Tipos de métodos numéricos

para la obtención de valores y vectores característicos

Tipos de métodos numéricos

Método de Krylov

Su objetivo es obtener de manera más sencilla la ecuación característica.

Para ello se basa en el teorema de Cayley-Hamilton.

El cual establece que:

Dada una matriz A no singular de orden n.

Toda matriz A verifica a su ecuación característica, es decir,

2

(2.1)

Deducción del método

(2.2)

Dada la ecuación característica de la matriz A no singular de orden n

con

Si normalizamos la ecuación dividiéndola entre

obtenemos:

Deducción

(2.3)

(2.4)

El teorema de Cayley - Hamilton establece que al sustituir por A se obtiene la ecuación:

que corresponde a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, cuyas incognitas son los coeficientes

Deducción (cont.)

(2.5)

Para simplificar el sistema, la ecuación (2.4) se multiplicará por un vector no nulo y que sea compatible con A, quedando

Al resolver este sistema de ecuaciones lineales se obtendrán los coeficientes de la ecuación característica, los que se sustituirán en la expresión (2.3).

Deducción (cont.)

Obtención de los valores característicos

Obtención de los valores propios

Al obtener los coeficientes de la ecuación característica, podemos calcular las raíces de dicha ecuación con alguno de los métodos de obtención de raíces vistos en clase, como factores cuadráticos o Newton - Raphson

Ejemplo didáctico

Vamos a tomar un ejemplo para deducir el algoritmo planteado, para ello vamos a obtener la ecuación característica de la siguiente matriz:

Podemos ver que con n=3 la ecuación característica normalizada está dada por:

Ejemplo

(2.3a)

(2.5a)

Y el sistema de ecuaciones lineales simplificado para conocer los valores de

está dada por la expresión

Utilizando el vector

tenemos:

Ejemplo (cont.)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Sustituyendo las ecuaciones (2.6) a (2.8) en la ecuación (2.5a) formamos el sistema de ecuaciones lineales

Por las propiedades de igualdad de vectores, suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar, el sistema es

Ejemplo (cont.)

(2.10)

(2.11)

Que en forma matricial se expresa como:

Al resolver dicho sistema de ecuaciones lineales tenemos que

Por lo que la ecuación característica queda como:

Ejemplo (cont.)

(2.12)

(2.13)

Algoritmo propuesto

(2.14)

Algoritmo

Basados en el Álgebra matricial, sabemos

Observe detenidamente los productos de las ecuaciones (2.6), (2.7) y (2.8), así como las ecuaciones matriciales (2.9) y (2.11) del ejemplo anterior.

Podemos construir el sistema de ecuaciones lineales de tal forma que el vector constituye la última columna de la matriz C de coeficientes.

Las demás columnas de C, comenzando desde la penúltima hasta la primera, se van formando por el correspondiente i-ésimo término

Por su parte, el vector D de términos independientes se forma por el término

De esta manera, se presentan de forma iterativa, las versiones preliminar y mejorada del algoritmo de Krylov, que se pueden ver en educafi.

Desarrollo

Consulte el ejercicio sobre el tema en educafi

Ejemplo usando el algoritmo

Métodos iterativos

3

(1.1)

Son métodos de aproximaciones sucesivas que se basan en la ecuación (.1.1) de este documento.

Con base en dicha ecuación se plantean dos métodos: el método de las potencias y el método de las potencias inversas.

El primero de ellos se presentará aquí y el segundo se dejará en el apartado 4.

Método de las potencias

Su objetivo es obtener el valor característico que tiene la máxima magnitud de una matriz no singular A. A la par se obtiene el vector característico asociado con dicho valor.

A partir de la ecuación:

Método de las potencias

(1.1)

(1.1a)

Si invertimos la colocación de los miembros de la ecuación (1.1)

Y la planteamos en forma iterativa

donde es el número de iteración.

Nos da como resultado un método de aproximaciones sucesivas.

Deducción del metodo

(3.1)

(3.2)

Desarrollo

Para ello, se propone utilizar un vector inicial x no nulo que sea compatible con el orden de A.

Sustituyendo este vector en el segundo miembro de la ecuación (3.1) y efectuando la multiplicación indicada, se obtiene una primera aproximación en el primer miembro de dicha ecuación, esto es

(3.3)

(3.4)

donde

es el vector del producto realizado.

El siguiente paso consiste en seleccionar la componente de mayor magnitud y tomarlo como

Posteriormente se normaliza el vector del producto, lo que consiste en dividir dicho vector entre

Desarrollo (cont.)

El factor de normalización será una aproximación al valor característico de mayor magnitud y el vector

será una aproximación a su vector asociado, en esa iteración.

El algoritmo continua de esta manera hasta que el error sea menor que la tolerancia preestablecida, con lo que se obtiene el máximo valor característico con su correspondiente vector asociado..

Desarrollo (cont.)

Criterio para convergencia

Convergencia

Para que se obtenga el máximo valor característico, se asume que la matriz A tiene n valores propios, , con sus correspondiente colección de vectores propios linealmente independientes asociados a dichos valores, .

(3.5)

Además, se asume que A tiene un valor propio que tiene la mayor magnitud, tal que

El método falla si existe más de un valor propio que tenga la máxima magnitud o si o si A no es diagonalizable . Además, recuerde que la matriz A debe ser no singular.

Convergencia (cont.)

Consulte el algoritmo en educafi

Algoritmo

Consulte el ejemplo en educafi

Ejemplo

Método de las potencias inversas

4

Es un método de aproximaciones sucesivas cuyo objetivo es obtener el valor característico que tiene la menor magnitud de la matriz A no singular.

A la par, este método también devuelve el vector característico asociado con dicho valor.

Deducción del método

(1.1)

A partir de la ecuación (1.1) de este documento

Despejamos el vector x del miembro izquierdo de la ecuación, para ello premultiplicamos por la inversa en ambos miembros de dicha ecuación.

Deducción del método

(4.1)

(4.2)

Aplicando la propiedad de multiplicar una matriz por su inversa, obtenemos la matriz identidad.

Luego, por las propiedades del elemento idéntico para las matrices y de la multiplicación de una constante por una matriz, tenemos

Deducción (cont.)

(4.3)

Como el objetivo es obtener el mínimo valor característico, dividimos entre en ambos miembros de la ecuación (4.3)

Y por propiedad de cancelación, la ecuación (4.4) queda

(4.4)

Deducción (cont.)

(4.5)

(4.6)

Deducción (cont.)

Planteando la ecuación (4.5) en forma iterativa, tenemos

que nos permitirá obtener el recíproco del valor característico de menor magnitud y su vector característico asociado con base en la inversa de la matriz A y un vector no nulo x.

Desarrollo

(4.7)

De nueva cuenta, a partir de un vector no nulo x

Sustituyendo este vector en el segundo miembro de la ecuación (4.6) y efectuando la multiplicación indicada, se obtiene una primera aproximación en el primer miembro de dicha ecuación, esto es

Desarrollo

(4.8)

(4.9)

Desarrollo (cont.)

donde

es el vector del producto realizado.

El siguiente paso consiste en seleccionar la componente de mayor magnitud y tomarlo como

Posteriormente se normaliza el vector del producto, lo que consiste en dividir dicho vector entre

El factor de normalización será una aproximación al recíproco del valor característico de menor magnitud y el vector será una aproximación a su vector asociado, en esa iteración.

El algoritmo continua de esta manera hasta que el error sea menor que la tolerancia preestablecida, con lo que se obtiene el mínimo valor característico con su correspondiente vector asociado.

Desarrollo (cont.)

Criterio para convergencia

Convergencia

De manera similar que el método de las potencias, para que se obtenga el mínimo valor característico, se asume que la matriz A tiene n valores propios,

, , con sus colección de vectores propios

linealmente independientes asociados a dichos valores, .

(3.5)

Entonces, se considera que existe un valor que tiene la magnitud mínima, tal que

El método falla si existe al menos un valor propio o si A no es diagonalizable . Además, recuerde que la matriz A debe ser no singular.

Convergencia (cont.)

Consulte el algoritmo en educafi.

Algoritmo

Consulte el ejemplo en educafi

Ejemplo

Aplicación en los sistemas de ecuaciones lineales

5

En los métodos de Jacobi y Gauss - Seidel se mencionó que el criterio de la diagonal dominante es una condición suficiente para la convergencia de dichos métodos. Otra de las condiciones para poder utilizar dichos métodos es que en la matriz de coeficientes del sistema cumpla con

(5.1)

Así, al obtener el máximo valor característico, si su magnitud fuera menor que uno, podríamos saber si los algoritmos de Jacobi o de Gauss - Seidel. son aplicables para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Aplicación (cont.)

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