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Ecuaciones exponenciales y logaritmicas
Ecuaciones logaritmicas
Ecuaciones exponenciales
Presentación
Logaritmos
Temas
Números primos
Regla de los signos
Jerarquía de las operaciones matemáticas
Potencias y exponentes
Ecuaciones
Radicación o radicales
Presentación
Centro educativo: Politécnico Luís Heriberto Payán.
Nombre: Rosa Mery
Apellido: Guerrero Rincón
Mátricula: 11
Asignatura: Matamática
Maestra: Yordhira Yulesca Espinal
Curso: 6to B
Área: Contabilidad
Regla de los signos
Jerarquía de las operaciones matemáticas
Potencias o exponentes
Radicación o radicales
Ecuaciones
Números primos
Logaritmos
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones logarítmicas
Regla de los signos
Ejemplos
En matemáticas, la palabra signo se refiere a la propiedad de ser positivo o negativo. Todos los números enteros distintos de cero son positivos o negativos, y tienen por tanto un signo.
La regla de signos resume el comportamiento de dos signos contrarios por sí mismo.
Videos
Suma y resta
Multiplicación y división
Suma de números positivos
Sumar números positivos es hacer una suma normal.
Ejemplo: 2 + 3 = 5 realmente quiere decir "positivo 2 más positivo 3 es igual a positivo 5".
Podrías escribirlo así: (+2) + (+3) = (+5)
Números negativos
Resta de números positivos
Esto es una simple resta.
Ejemplo: 6 - 3 = 3 realmente quiere decir "positivo 6 menos positivo 3 es igual a positivo 3".
Podrías escribirlo así: (+6) - (+3) = (+3)
Números negativos
Restar un negativo es lo mismo que sumar
6-(-3) = 6+3 = 9
¿Qué pasa con positivo y negativo juntos?
Restar un positivo o sumar un negativo es restar
12+3=15 12+(+3)=15
15-(+3)=12 15+(-3)=
Signos iguales
1. Si tenemos dos signos iguales, se realiza la multiplicación y en ambos casos el signo del resultado será positivo.
(+ ) x ( + ) = +
Ejemplo:
( +3 ) x ( +5 ) = +15
(-) x (-) =+
División
Signos diferentes
2. Si tenemos signos diferentes, se realiza la multiplicación y el resultado será con signo negativo, en estas operaciones no importa cual es mayor.
(+) x (-) =-
Ejemplo:
( +4 ) x ( -2 ) = -8
(-)x (+) =-
Es lo mismo que en la multiplicación.
1. Si tenemos dos signos iguales, se realiza la división y en ambos casos el signo del resultado será positivo.
( + ) ÷ ( + ) = +
Ejemplo:
( +15 ) ÷ ( +5 ) = +3
(-) ÷ (-) =+
Ejemplo:
(-28 ) ÷ ( -4 )= +7
2.Si tenemos signos diferentes, se realiza la división y el resultado será con signo negativo, en estas operaciones no importa cual es mayor.
(+) ÷ (-) =-
Ejemplo:
( +8 ) ÷ ( -2 ) = -4
(-) ÷ (+) =-
Ejemplo:
(-12 ) ÷ ( +4 )= -3
Jerarquía de las operaciones matemáticas
Ejemplos
En matemáticas, la jerarquía de operaciones se refiere al orden en que se deben realizar las operaciones matemáticas.
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Ejemplos
Las operaciones matemáticas se realizan de la siguiente forma:
Los cálculos se hacen de izquierda a derecha.
Si hay paréntesis u otros signos de agrupación, se realizan primero esas operaciones.
El siguiente orden es resolver los exponentes.
El próximo paso es evaluar las multiplicaciones y divisiones.
Finalmente se realizan las sumas y restas indicadas.
Operaciones de suma y resta donde hay signos de agrupación
Se realizan primero las operaciones dentro de los paréntesis hasta que sólo queda un número:
678 - [(34 + 28) + (73 - 15) - (12 + 43)]⇒
34 + 28 = 62, 73 - 15 = 58, 12 + 43 = 55,
luego se resuelven las operaciones dentro del corchete:
62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,
Finalmente se realiza el resto de las operaciones;
678 - 65 = 613.
Propiedades de las potencias o exponentes
Potencias o exponentes
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base y exponente.
Ejemplos
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Propiedades
Propiedades de las potencias.
Las Propiedades de las Potencias nos ahorraran bastante tiempo resolviendo operaciones, su función es simplificarnos los problemas antes de resolver.
Propiedades
Propiedades
1-. Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente «0» el resultado siempre sera 1.
2-. Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado sera su base.
3-. Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes.
4-. División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la diferencia de los exponentes.
5-. Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente: El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente.
6-. División de potencias con base distinta y mismo exponente: El cociente de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente.
7-. Potencia de una potencia: El resultado es otra potencia que conserva la base y el exponentes es el producto de los exponentes.
8-. Potencia con exponente negativo: no se pueden resolver, el exponente debe pasar a positivo.
9-. Potencia con exponente fraccionario: Es igual al radical donde el denominador es el índice de la raíz y el numerador es el exponente de la raíz
10-. Potencia con exponente fraccionario de numerador 1: Es igual al radical donde el denominador es el índice la la raíz.
Ejemplos
Radicación o radicales
Propiedades de la radicación
En matemáticas, la radicación es el proceso de hallar raíces de orden n de un número a.1.
Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical
Ejemplos
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Propiedades
Propiedades de los radicales
Las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radiación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.
Propiedades
Propiedades de las Raices
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
1) Multiplicación de raíces de igual índice:
Se multiplican las bases y se conserva el índice.
2) División de raíces de igual índice:
Se dividen las bases y se conserva el indice obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base
) Raíz de raíz:
Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.
4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índica
Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical y la base queda aislada.
5) Propiedad de amplificación:
Tanto el índice como el exponente de la potencia pueden amplificarse por un mismo valor.
Ecuaciones
Ecuaciones lineales o de primer grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una (o más) incógnita. Normalmente, la incógnita es x.
La incógnita x representa al número (o números), si existe, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación.
Ecuaciones cuadraticas o de segundo grado
Ecuaciones lineales
Ejemplos
Una ecuación de primer grado o líneal o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
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Ejemplos
Videos
Ecuaciones cuadráticas
Ejemplos
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general: donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático, b el coeficiente lineal y c es el término independiente
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Ejemplos
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Números primos
Ejemplos
Los números primos son una parte de los números naturales enteros positivos los cuales tienen la característica especial de que sólo se pueden hacer divisiones exactas con ellos, cuando el número se divide entre sí mismo (dando como resultado 1) y entre la unidad, que da como resultado el mismo número.
Factorización prima
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Más ejemplos
Ejemplos de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Sumas de números primos:
2+3 = 5 (Número primo)
5+2 = 7 (número primo)
7+2 = 9 (número compuesto)
13+5 = 18 (número compuesto)
5+7 = 12 (número compuesto)
Restas de números primos:
13–5 = 8 (número compuestos)
13–2= 11 (número primo)
23–2 = 21 (número compuesto)
37–7 = 30 (número compuesto)
43–2 = 41 (número primo)
Multiplicaciones de números primos:
2X3 = 6
11X3 = 33
29X5 = 145
17X7 = 119
13X11=143
División de números primos:
11/11 = 1
11/1 = 11
89/89 = 1
89/1 = 89
41/41 = 1
41/1 = 41
Factorización prima
La factorización prima es el proceso de descomponer un número en sus factores primos.
Videos
Cómo hacerlo
Un árbol de factores es una excelente forma para visualizar los factores de un número. Comienza encontrando cualquier factor del número de arriba. Si es un número primo, enciérralo en un círculo y allí termina esa rama. Si no es un número primo, sigue factorizando la rama hasta que toda termine en círculos (es decir, hasta que termine en números primos).
Videos
Videos de números primos
Propiedades
Logaritmos
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Ejemplos
Videos
Logaritmo de la unidad
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.
logb (1) = 0 ; con b ≠ 1, b > 0
Propiedades
Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1.
logb (b) = 1 ; con b ≠ 1, b > 0
Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1.
logb (b) = 1 ; con b ≠ 1, b > 0
Logaritmo de una potencia con igual base:
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.
logb bn = n, con b ≠ 1, b > 0
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
logb (a • c) = logb a + logb c
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Solución
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece, únicamente, en los exponentes de potencias de bases constantes. La incógnita puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro de la ecuación. Es decir, una constante está elevada a una función de la incógnita a despejar, usualmente representada por x
Ejemplos
Videos
El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes.
La ecuación anterior se cumple si los exponentes son iguales. Por tanto, en este ejemplo el valor que debe tomar x es 3.
Para conseguir igualdades como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir las raíces como potencias. En ocasiones, tendremos que realizar un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o de segundo grado e, incluso, de grado mayor.
También se pueden resolver aplicando logaritmos, pero nosotros dejaremos este procedimiento para ecuaciones con mayor dificultad en las que las exponenciales tienen bases distintas y, por tanto, no podemos usar la técnica anterior de igualar exponentes. Por ejemplo, en la siguiente ecuación las bases son distintas (coprimas)
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Ecuaciones logaritmicas
Ejemplos
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece, únicamente, en los exponentes de potencias de bases constantes. La incógnita puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro de la ecuación.
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Ejemplos
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