Introducing
Your new presentation assistant.
Refine, enhance, and tailor your content, source relevant images, and edit visuals quicker than ever before.
Trending searches
matemàtiques successions numèriques
42
SUCCESSIONS NUMÈRIQUES
ÍNDEX:
ÍNDEX DE LA UNITAT
1. Successions
2. Progressions aritmètiques
3. Progressions geomètriques
4. Aplicacions
5. Curiositats de les successions
REGLA DE FORMACIÓ
Successions
Una successió és un conjunt ordenat de nombres reals.
a1, a2, a3, a4, a5...
a= terme
i= possició
Regla de formació:
És el criteri a partir del qual podem obtenir els tremes d'una successió sense saber la posició que ocupen.
Exemple:
Quina és la regla de formació d'aquestes successions?
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 … )El nombre anterior més 2.
b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... ) La suma dels 2 nombres anteriors.
TERME GENERAL
Terme general:
El terme general és una expressió algebraica que ens serveix per calcular els termes d'una successió si sabem el lloc que ocupen.
Exemple:
Calcula el terme general d’aquestes successions i determina a6 i a60-
a) 3,6,9,12,15...
a1= 3=3·1 a3=9=3·3 }
}cada terme és el lloc que ocupa multiplicat per 3
a2=6=3·2 a4=12=3·4 }
terme general → an= 3n, en que n és el lloc que ocupa
an=3n→ a6=3·6=18 an=3n→ a60=3·60=180
Progressions aritmètiques:
PROGRESSIÓ ARITMÈTICA
És una succeció on cada terme (menys el primer) s’obté a partir de l’anterior sumant-t’hi un nombre fix d, que s’anomena diferència de la progressió.
→ a2 - a1= a3 - a2= a4 - a3=... d
Exemple:
Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques:
6,11,16,21,26,31… b) 4,9,14,22,30...
a)11-6= 16-11=21-16=26-21=31-26=...= 5
És una progressió aritmètic amb diferència d=5
b) 9-4= 14-9 =/ 22-14 → no és una progressió aritmètica.
Terme general d'una progressió aritmètica:
TERME GENERAL
En una progressió aritmètica, cadascun dels termes és igual a l’anterior més la diferència :
a2= a1+d
a3= a2+d = (a1+d) + d= a1+2d
a4= a3+d= (a1+2d)0 a1+3d
…
an= a1+ (n-1)d
El terme general d’una progressió aritmètica és: an= a1+ (n-1)d, on a1, és el primer terme i d és la diferència.
en el cas de dos termes, ap i aq, d’una progressió aritmètica ( p<q) es verifica que: aq= ap+ (q-p)d.
SUMA DELS n PRIMERS TERMES D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA:
A continuació buscarem una fórmula general per sumar els n primers termes d’una progressió aritmètica. Per fer-ho, considerem la suma dels n primers termes de la progressió i en canviem l’ordre:
Sn= a1+a2+... +an-1+an Sn= an+an-1+... +a2+a1
SUMA DELS N TERMES
Exemple:
Calcula la suma dels 6 primers termes d’aquesta progressió aritmètica:
6,8,10,12,14,16…
Si sumem els sis termes: 6+8+10+12+16 = 66
Si apliquem la fórmula ( a1 = 6, a6= 16): (6+16)·6
S6= ---------- = 66
2
En els dos casos tenim el mateix resultat.
→ la suma dels termes d’una progressió aritmètica també pot ser així:
n(n-1)·d
Sn = a1·n+ -----------
2
TERME GENERAL
PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:
És una successió on cada terme (menys el primer) s’obté multiplicant l’anterior per un nombre fix r , en el que s’anomena raó de la progressió.
En una progressió geomètrica es verifica que:
a2:a1 = a3:a2 = a4:a3 =... = r
PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA
EXEMPLE:
Determina si aquestes successions són progressions geomètriques:
a) 2,6,18,45… b) 4,8,16,20..
b) 6:2 = 18:6 =54: 18=...= 3 És una progressió geomètrica amb r=3
c) 8:4 = 16:8 =/ 20:16 No és una progressió geomètrica
TERME GENERAL D'UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:
En una progressió geomètrica, cadascun dels termes és igual a l’anterior multiplicat per la raó:
a2 = a1·r
a3= a2·r = (a1·r) · r= a1r a la 2
a4= a3·r = (a1r a la 2) ·r = a1r a la 3
an= a1r a la -1
El terme general d’una progressió geomètrica és: an= a1· rn a la -1, on a1 és el primer terme i r és la raó.
→
Quan hi han dos termes , ap i aq, d’una progressió geomètrica (p<q), es verifica que: aq= ap·r a la (q-r).
SUMA DE n TERMES D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:
SUMA DE n TERMES
Ara buscarem una fórmula general per calcular la suma de n termes d’una progressió geomètrica:
Sn= a1+a2+...+an a la -1+an
Exemple:
Calcula la suma dels 8 primers termes de la progressió geomètrica: -2,-6,-18,-54…
· El primer terme és a1= -2
· Calculem la raó: an · r a la n-a -> a2= a1· r a la 2-1-> -6= -2r→ r=3
Sn= a1 (rn-1) a1= -2, r=3 (-2) (3 a la 8-1) (-2)·6.560 -------------- ---------------> S8= --------------- = -------------- =
r-1 n=8 3-1 2
= -6560
SUMA DE TOT ELS TERMES:
És la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó r que és:
a1
s= -------
1-r
Exemple:
Calcula la suma de tots els termes de la progressió geomètrica:
1,½,¼,⅛,1/16 …
·El primer terme és a1=1.
·Calculem la raó: an·r a la n-1→ a2=a1·r a la 2-1--> ½ = 1·r→ r= ½<1
· Com que r<1, podem aplicar la fórmula:
a1 1 1
S=-------------- = ------------------- = 2
1-r 1- ½ ½
SUMA tot els termes
APLICACIONS:
APLICACIONS
INTERPOLACIÓ:
Interpolar significa col.locar uns altres nombres entre dos de donats. Donats dos nombres a i b.
• Interpolar n mitjans diferencials entre a i b és trobar x1, x2, …, xn nombres de manera que a, x1, x2, … , xn, b formin una progressió aritmètica.
• Interpolar n mitjans proporcionals entre a i b és trobar x1, x2, …,,xn nombres de manera que a, x1, x2, …, xn, b formin una progressió geomètrica.
Exemple:
Interpolar 4 mitjans diferencials entre 4 i 44. 4, x1, x2, x3, x4, 44
Progressió aritmètica 44=4+(6-1)·d → 40=5d → d=8 4, 12, 20, 28, 36, 44
Interpolar 2 mitjans geomètrics entre 3 i 24. 3, x1, x2, 44
Progressió geomètrica 24=3·r3 → 8=r3 → r=2 3, 6, 12, 24
INTERÈS COMPOST
INTERÈS COMPOST:
Si dipositem un capital durant un període de temps, t a un rèdit, r%, i, quan s’acava cada període d’inversió, els interessos s’afegeixen al capital, en trobem en una situació d’interès compost.
r
a1= capital inicial i raó, r= (1 + -------- )
100:
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES:
La Carla diposita 5000 euros al 2% d’interès compost anual. Quants diners tindrà al cap de 3 anys?
El capital dipositat al començament és : capital inicial= 5000 euros
Quan s’acabi el primer any rebrà el 2% d’aquest capital:
Capital 1r any= 5000+ 2/100 · 5000 (1+ 2/100) =5100
Capital 2n anys= 5100+ 2/100 · 5100= 5100 ( 1+ 2/100) = 5000 (1+ 2/100) a la 2
Per tant , al final dels 3 anys tindrà :
Capital 3r any= 5000 ( 1+ 2/100) a la 2 = 5306,04 euros.
el capital final , Cf, s’obté quan s’inverteix un rèdit, r%, un capital , C, durant un temps, t, a interès compost.
Cr= C· ( 1+r/100) a la t ( t en anys)
Curiositats de les successions
Les matemàtiques no són una invenció de l’ésser humà, tot al contrari, la propia natura està plena de números, successions, proporcions… Encara que no ho sembli, totes les coses que ens envolten segueixen un criteri comú, des dels simples pètals d’una rosa, fins als forats negres que hi ha a l’espai.