Alumno 1º Tema 10: Álgebra

1.- Letras en vez de números

1.- El Lenguaje Algebraico:

a. Tipos de Lenguaje

- Lenguaje numérico o aritmético: Utilizamos este lenguaje en matemáticas cuando solamente aparecen números.

Ejemplo

3 • 5 = 15

3 + 8 = 11

- Lenguaje algebraico o literal: Es el lenguaje en el que aparecen números y letras (incógnitas).

Ejemplo:

2 ∙ x = 60

El doble de un número es 60

1.- El Lenguaje Algebraico:

b. Concepto de Lenguaje Algebraico.

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones.

LENGUAJE ALGEBRAICO

Lenguaje algebraico

Lenguaje ordinario

1. Un número cualquiera

m

2. Un número cualquiera aumentado en siete

m + 7

a - c

3. La diferencia de dos números cualesquiera

2 x + 5

4. El doble de un número excedido en cinco

5. La división de un número entero entre su antecesor

6. La mitad de un número

1.- El Lenguaje Algebraico:

LENGUAJE ALGEBRAICO

Lenguaje ordinario

Lenguaje algebraico

2

7. El cuadrado de un número

x

8. La semisuma de dos números

9. Las dos terceras partes de un nº disminuido en 5 = 12

10. Tres número naturales consecutivos

x, x + 1, x + 2

1200 - f

11. La parte mayor de 1200, si la menor es f

2

12. El cuadrado de un número aumentado en siete

b + 7

13. El producto de un nº con su antecesor

x · ( x - 1 )

3

2

14. El cubo de un nº más el triple del cuadrado de dicho nº

x + 3 x

1.- El Lenguaje Algebraico:

LENGUAJE ALGEBRAICO

Lenguaje ordinario

Lenguaje algebraico

15. Un número aumentado en dos

x + 2

16. Un número disminuido en cinco

x - 5

17. Dos número naturales consecutivos

x, x + 1

18 Número natural anterior a b

b - 1

2x

19. El doble de un número

20. El tercio de un número

x/3

2

21. El cuadrado de un número menos el mismo

x - x

22. El triple de un número más siete unidades

3x + 7

1.- El Lenguaje Algebraico:

LENGUAJE ALGEBRAICO

Lenguaje ordinario

Lenguaje algebraico

23. Un número par

2x

2

24. Diferencia de los cuadrados de dos números

x - y

2

25. Cuadrado de la diferencia de dos números

( x - y )

3

26. El cubo del doble de un número

( 2 x )

2

2 x

27. El doble del cuadrado de un número

2

28. El cuadrado del doble de un número

( 2 x )

29. La mitad del cuadrado de un número

30. El cuadrado de la mitad de un número

1.- El Lenguaje Algebraico:

- Expresar propiedades aritméticas

Propiedad Conmutativa

a + b = b + a

a · ( b + c ) = a · b + a · c

Propiedad Distributiva

1.- El Lenguaje Algebraico:

Generalizar relaciones numéricas

2

n + n

2

La expresión generaliza la relación entre la altura de la torre, n, y el

número de casillas que contiene

2

n + n

1

3

6

10

2

1.- El Lenguaje Algebraico:

Generalizar relaciones numéricas

Las últimas casillas de la siguiente tabla generaliza la ley que define su construción

n

10

2

15

5

3

4

1

2

5

17

101

26

226

10

n + 1

Comprobación

2

10 + 1

10

100 + 1

101

1.- El Lenguaje Algebraico:

1.- El Lenguaje Algebraico:

1.- El Lenguaje Algebraico:

Expresa y opera números desconocidos

Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no conocemos, operar con él y relacionarlo con otros números

Peso de un tubo de galletas

x

2x

Peso de dos tubo de galletas

x + 400

Una caja pesa 400 gramos más que un tubo

2x + ( x + 400 )

Peso de dos tubos y una caja

1.- El Lenguaje Algebraico:

Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5 y 6 pg 173

Ejercicio 1 pg 173

1. Copia en tu cuaderno y completa, sabiendo que a = 5

2 · a + 3

2 · a – 3

13

16

10 · a + 7

Ejercicio 2 pg 173

Ejercicio 3 pg 173

3. Llamando x a un número natural, escribe:

a) El doble del número.

b) El siguiente del número.

c) La suma del número, su doble y su siguiente.

Ejercicio 4 pg 173

4. Codifica en una igualdad matemática el siguiente enunciado:

La suma de un número, x, su doble y su siguiente es 21.

Ejercicio 5 pg 173

5. Llamando x a la edad de Ana, escribe una expresión matemática para cada apartado:

a) La edad que tendrá dentro de ocho años.

b) La edad que tenía hace dos años.

c) El doble de la edad que tenía hace dos años.

Ejercicio 6 pg 173

6. Codifica en una igualdad matemática el siguiente enunciado:

La edad de Ana, dentro de ocho años, será igual al doble de la que tenía hace dos años.

2.- Expresiones Algebráicas

2.- Expresiones Algebráicas

A. Concepto:

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos o ligados por las operaciones aritméticas de:

Suma.

+

–

Resta.

Multiplicación.

·

:

División.

2.- Expresiones Algebráicas

B. Valor numérico de una expresión algebraica

Es el valor (número) que adquiere la expresión al sustituir la incógnita o incógnitas por su valor o valores.

Ejemplo:

Hallar el valor numérico de 2·x – 6 para x =5

– 6

2 ·

x

Escribimos la ecuación nuevamente

=

x

– 6

5

2 ·

Sustituimos la incognita x por su valor

=

– 6

10

Realizamos las operaciones

4

2.- Expresiones Algebráicas

Ejercicio:

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebráicas

a.- 2·x + 3 para x =2

b.- 3·x - 3 para x = - 1

=

3

x

-

x

3 ·

+

=

3

2 ·

=

3

x

-

(-1)

3 ·

x

+

2

=

3

2 ·

-

=

-3

3

+

=

3

4

-6

7

2.- Expresiones Algebráicas

C. Términos de una expresión algebraica:

Se llaman así a las expresiones numéricas o algebraicas separadas por los signos de sumar o restar

Ejemplo:

5

x

–

+

3

4

x

Tiene 4 térnimos

–

3

5

x

+

4

x

1º

3º

2º

4º

2.- Expresiones Algebráicas

D. Tipos de Términos:

1. Términos en "x"

Son aquellos términos de la expresión que dependen del valor de la incógnita (de la x).

En el ejemplo

3

5

x

–

+

4

x

serían términos en "x":

x

–

3

x

4

x

2.- Expresiones Algebráicas

D. Tipos de Términos:

2. Términos Independientes.

Son aquellos términos de la expresión que no dependen del valor de la incógnita (por eso se llaman independientes).

Tienen el valor numérico que representan.

–

3

5

x

+

En el ejemplo

4

x

5

serían términos independiente:

E. Partes de un término de una expresión algebraica.

1.- Coeficiente: Es la parte numérica, que generalmente se pone delante de la incógnita o de las incógnitas.

2.- Parte literal: Se refiere a la letra o letras que hay en cada término de la expresión.

x

4

–

x

Parte literal

–

Coeficiente

4

F. Observaciones:

2

1

1. El factor 1 o coeficiente 1 no se escribe 1 x y = x y

2

1

2

2. El exponente 1 tampoco se pone 3 x y = 3 x y

3. El signo de multiplicar no suele ponerse ni entre las letras, ni entre los números y las letras

5abc

5·a·b·c =

G. Términos semejantes:

En una expresión algebraica los términos semejantes son aquellos que tiene la misma parte literal (mismas incógnitas elevadas a los mismos exponentes)

Términos semejantes

Ejemplo: Dada la expresión

2

5x – 7 + 10y = 4x – 8 + 9y – 3ab + 5ab – 2x

No tiene términos semejantes

2

– 2x

Monomios:

Un monomio consiste en el producto de un número ( coeficiente) por una o varias letras (parte literal)

·

x

- 5

2

·

b

a

·

3

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

Monomios:

El grado: es el exponente al que está elevada la letra

2

El grado de la letra a es :

2

a

Se llama grado de un monomio a la suma de los grados de las letras que lo forman

·

grado 1

- 5

x

2

·

grado 3

a

b

3

Polinomios:

Un polinomio es la suma o resta indicada de varios monomios.

3

2

2

_

a

+

a

b

+

El grado de un polinomio es el del sumando de mayor grado.

2

a

+

b

grado 2

3

2

_

grado 3

a

+

_

3a

grado 2

a

b

·

Suma y resta de monomios y polinomios:

Solamente se pueden sumar monomios semejantes ( mismas letras con el mismo exponente).

Se suman o restan los coeficientes y se pone la misma parte literal

a

+

2

a

=

1

a

+

=

2

a

no son semejantes, no se pueden sumar se dejan indicados

+

b

2

a

+

b

Sumar y restar monomios semejantes, también se llama reducir términos semejantes.

Ejercicio 1 pg 175

2

1. Calcula el valor numérico de la expresión x + xy – 12 cuando x = 3 e y = – 1

Ejercicio 2 pg 175

2. Indica cuáles de las expresiones siguientes son monomios

3

2

2

3

a b

2x – x

a + b

5x

Ejercicios pg 175

3. Para cada uno de los monomios siguientes, indica su coeficiente, su parte literal y su grado

Ejercicios pg 175

Ejercicios pg 175

Ejercicios pg 175

Ejercicios pg 175

3x - x =

3x - ( 4x - 3x)

resuelvo el paréntesis

2x

3x - ( 4x - 3x)

quito el paréntesis

3x - 4x + 3x =

2x

Ejercicios pg 175

Multiplicación de Monomios

Se multiplican los coeficientes y las partes literales

2

3

2

•

3x

3

=

•

4x

4

x

y

12

•

Resultado

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica aplicando la propiedad distributiva

3

2

+

8xy

4x

(

)

4x

=

+

2y

x

•

División de Monomios

El cociente de dos monomios se obtiene dividiendo los coeficientes y las partes literales:

Al dividir dos monomios se puede obtener como resultado

- Un número

6x

:

6x

=

2

3x

=

3x

- Otro monomio

_

2

_

:

)

5b

(

15ab

3ab

=

5a

- Una fracción algebráica

2

_

2

_

:

(

=

6ab

)

15a b

2b

Ejercicios pg 177

Ejercicios pg 177

Ejercicios pg 177

Ejercicios pg 177

Ejercicios pg 177

3.- Ecuaciones

Igualdades Algebráicas: Ecuaciones e Identidades

Una Ecuación es una igualdad entre expresiones algebráicas que se cumple para ciertos valores de las letras.

x

+

=

3

5

2

Una Identidad es una igualdad algebraica que se cumple siempre, independientemente de los valores que tomen las letras

_

6x

4x

2x

=

Elementos de una Ecuación

Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual

2x + 4 = x + 5

3x + 2 = x + 1

PRIMER MIEMBRO

SEGUNDO MIEMBRO

Elementos de una Ecuación

Términos: son los sumandos que forman los miembros

2x + 4 = x + 5

TERMINO

Elementos de una Ecuación

Incognitas: son las letras que aparecen en los términos

2x + 4 = x + 5

Incognita

3x + 2 = x + 1

Elementos de una Ecuación

Soluciones: son los valores que han de tomar las letras para que se cumpla la igualdad

2x + 4 = x + 5

2·1 + 4 = 1 + 5

x

=

1

6 = 6

Ecuaciones Equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tiene la misma solución

Resolver una ecuación

A. Concepto:

La solución de una ecuación es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la igualdad.

Resolver una ecuación es encontrar su solución

x + 8 = 3 + 9

x = 4

4 es la solución

Resolver una ecuación

B. Clasificación de las ecuaciones.

Las ecuaciones se clasifican por el número de letras o incógnitas y por el término de mayor grado de los exponentes.

Si el grado es 1: se llaman ecuaciones de primer grado

Grado 1

1

x + 8 = 10

Si tienen una sola incógnita: se llaman ecuaciones con una incógnita

Incognita 1

Resolver una ecuación

B. Clasificación de las ecuaciones.

Las ecuaciones se clasifican por el número de letras o incógnitas y por el término de mayor grado de los exponentes.

Si el grado es 2: se llaman ecuaciones de segundo grado

2

Ecuación de segundo grado con una incognita

x + 8 = 10

Si tienen dos incógnitas: se llaman ecuaciones con dos incógnitas

x + y = 5

Ecuación de primer grado con dos incognitas

Ejercicios nº 1, 2, 3 y 4 pg 179

–

x

=

13

1

7

·

4

3

5

Ejercicios nº 1, 2, 3 y 4 pg 179

Ejercicios nº 1, 2, 3 y 4 pg 179

Ejercicios nº 1, 2, 3 y 4 pg 179

4.- Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones

Regla de la suma

Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta un número o una expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente; es decir, otra ecuación que tiene la misma solución.

Ejemplo:

x - 5 = 10

x – 5 + 5 = 10 + 5

sumamos 5 :

x – 0 = 15

x = 15

Regla del producto

Si a los dos miembros de una ecuación se le multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente; es decir, otra ecuación que tiene la misma solución.

Ejemplo:

4 x = 20

4

dividimos entre 4:

x = 5

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

1. Se quitan paréntesis si los hay.

.- Aplicando la propiedad distributiva y la regla de los signos.

3x + 2

– ( 3x + 2 )

– 3x – 2

=

=

( 3x + 2 )

3x – 2

=

( 3x – 2 )

– 3x + 2

– ( 3x – 2 )

=

–3x + 2

=

(–3x + 2 )

=

3x – 2

– ( –3x + 2 )

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

2. Se quitan denominadores si los hay

.- Ayudándonos del m.c.m. de los denominadores

.- Multiplicando cada termino por el cociente de la división entre el m.c.m. y cada uno de los denominadores.

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

3. Se escriben los términos en “x” en el primer miembro.

Aplicando la regla de la suma

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

4. Se escriben los términos independientes en el segundo miembro.

Aplicando la regla de la suma

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

5. Se reducen los términos semejantes y se opera.

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

6. Finalmente se halla el valor de la incógnita

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

7x = 21

x = 3

1. Se quitan paréntesis si los hay.

7

2. Se quitan denominadores si los hay

3. Se escriben los términos en “x” en el primer miembro.

4. Se escriben los términos independientes en el segundo miembro.

5. Se reducen los términos semejantes y se opera.

6. Finalmente se halla el valor de la incógnita

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

5x – 4 = 11 + 2x

5x - 2x =

11 + 4

1. Se quitan paréntesis si los hay.

5x - 2x = 11 + 4

2. Se quitan denominadores si los hay

3x = 15

3. Se escriben los términos en “x” en el primer miembro.

4. Se escriben los términos independientes en el segundo miembro.

3x = 15

3

5. Se reducen los términos semejantes y se opera.

3

x =5

6. Finalmente se halla el valor de la incógnita

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

4

2x

=

x

3

+

m.c.m. de (5 y 1) = 5

5

·

x

4

·

5

3

5

2x

=

+

5

10x

4x

15

+

=

_

10x

4x

15

=

_

6x

15

=

15

_

=

x

6

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

5

4

7

_

10

_

2x

x

+

=

8

6

4

10

m.c.m. de (10, 4, 6 y 1) = 60

24x

480

600

105x

120x

50

_

+

=

60

_

24x

600

50

480

120x

105x

+

=

_

24x

105x

50

=

480

600

120x

_

201x

=

1130

x

=

201

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

5 – 3 (4x – 10 ) = 7x + 5 ( 4 – 3x ) + 8

5 - 12x + 30 = 7x + 20 - 15x + 8

=

20 + 8 - 5 - 30

- 12x - 7x + 15x

- 4x = - 7

- 4x

- 7

=

- 4

7

=

x

4

NORMAS PRACTICAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

1

_

2x

=

8

)

2x

(

2

3

2

_

=

2x

4x

8

_

6x

22

3

=

6x

12x

2

24

6

_

=

3

_

6x

12x

24

11

=

2

+

_

=

x

_

22

6x

3

=

5.- EJERCICIOS

Ejercicio nº 13 pg 184

Ejercicio nº 13 pg 184

13.- Calcula el valor que debe tener x para que se verifique la igualdad

_

10 x

+

4x

7 x

5 x

5

+

=

1

_

10 x

5 x

4 x

1

7 x

5

=

_

6x

6

=

_

6

=

x

1

Ejercicio nº 15

Ejercicio nº 15

Ejercicio nº 17

Ejercicio nº 19

Ejercicio nº 20

Ejercicio nº 21

pg 187 Ej 1

Si a un número le sumas el anteri...

pg 187 Ej 2

pg 187 Ej 3

pg 187 Ej 4

pg 187 Ej 5

pg 187 Eje 6

Ejercicios y Problemas

Pg 188

Ejercicos: 2,3,7, 8 y 10

Pg 189

Ejercicios: 16, 20 y 23

Pg 190

Ejercicios: 26, 30, 31 y 32

Pg 191

Ejercicios: 38, 40, 42, 43, 44 y 45