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Transcript

Teorema Van Aubel

b

2

X

Y

180°

90°

m

p

¿Qué es?

Dado un cuadrilátero cualquiera en el plano (sea convexo, concavo o cruzado),

situamos cuadrados en cada uno de sus lados. Entonces, los segmentos que unen los centros de cuadrados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares.

A

B

Historia

Fue publicado por el matemático holandes Henricus Hubertus Van Aubel (1830-1906), quien era profesor de matemáticas en el Real Ateneo de Amberes en Bélgica; apareció en un artículo publicado en el año 1878 que lleva por nombre: Nota sobre los centros de los cuadrados construidos en los lados de cualquier polígono (Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d’un polygon quelconque).

C

¿En qué consiste?

Se crea cualquier cuadrilatero (paralelogramo, romboide, rectángulo) posterior a ello se construye un cuadrado por cada lado de la figura inicial, ya teniendo esta base, ubicamos los puntos centro de los cuadrados que acabamos de realizar y trazamos dos segmentos que van a tener la misma longitud y van a formar un ángulo recto.

D

Demostraciones.

Demostración con cuadrados con un cuadrilatero convexo.

Demostración con cuadrados con un cuadrilatero cóncavo.

Demostración con cuadrados con un cuadrilatero cruzado.

Demostración con rectángulos semejantes.

Los segmentos PR y SQ son perpendiculares y además PR/SQ = a/b

Ejemplo de demostración con rectángulos semejantes.

Los segmentos JL y KM tienen la misma longitud y el ángulo entre los segmentos JL y KM es igual al ángulo entre las diagonales de los rectángulos.

Demostración con paralelogramos semejantes.

  • El resultado sigue siendo válido para rombos o, en general, paralelogramos semejantes
  • Ahora los segmentos PR y SQ no se cruzan en el mismo punto que los segmentos JL y KM; y el ángulo entre los segmentos PR y SQ, ya no es recto, pero sigue siendo el mismo que el ángulo de los paralelogramos de la construcción.

Demostración con triángulos rectángulos.

  • Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, se construye un triángulo rectángulo APB sobre el lado AB con el ángulo recto en P y de forma similar para los demás lados

Primer teorema de thébault.

  • Si el cuadrilatero sobre el que se construyen los cuadrados es un paralelogramo, el resultado tiene algo adicional, porque al crear los cuadrados ya sean internos o externos, y al tener su punto centro, se obtiene al unir estos puntos un nuevo cuadrado.
  • Fue descubierto por el matemático frances Thébault en el año 1937 y también se le conoce como el teorema de Sawayama.
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