CONSULTING
Weekly Round up Meeting
Department weekly meeting
01.01.2018.
REFERÊNCIAS
BELLEMAIN, P. M. B.; LIMA, P. F. Um estudo da noção de Grandeza e implicações no Ensino Fundamental. 1. Ed. Natal: SBHMAT, 2002
CARAÇA, B. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: 1951
DAVIDOV, V. V. Problems of developmental teaching – The experience of theoretical and experimental psychological research Soviet Education, New York, Aug.; Sep., Oct., 1998a.
DOUADY, Regine. GLORUAN, Marie-Jeanne P. Un processus d’apprentissage du concept d’aire de surface plane. Studies em Mathematiques 20: Kluwer Academic Publisshers, Netherlands, 1989, p.387-424.
GEPEM – Espírito Santo – Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática. Medindo Comprimentos e Área. 3ª Ed., 2013
LEONTIEV. A . Uma contribuição à Teoria do Desenvolvimento da Psique Infantil. In: VIGOTSKI, L. S.; LURIA, A. R.; LEONTIEV, A. Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. 12. ed. São Paulo: Ícone, 2012.
LIMA, L.; MOISÉS, R. A Fração – a Repartição da Terra. São Paulo: CEVEC - CIARTE, 1998.
LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria? Educação Matemática em revista, n.°4. São Paulo: SBEM, 1995, v. 4.
MARTINS, Lígia Márcia; ABRANTES, Angelo Antônio; FACCI, Marilda Gonçalves Dias (Org.). Periodização histórico-cultural do desenvolvimento psíquico: do nascimento à velhice. Campinas, SP: Autores Associados, 2016 - (Coleção educação contemporânea).
VALE, Isabel. Materiais manipuláveis. Instituto Politécnico de Viana do castelo. Escola Superior de Educação. Departamento de Matemática, Ciências e Tecnologia. 2002.
VÁZQUEZ, A. S. La filosofía de la praxis como nueva práctica de la filosofia. Cuadernos Políticos, número 12, editorial Era, México, D.F., abril-junio, 1977, pp.64-68.
_____. Filosofia da práxis. 2ed. Rio de Janeiro.: Paz e Terra, 1977.
VIGOTSKI, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. 6ª ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.
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ANEXOS
Anexo 1 - TAREFA 1 - Relacionando objetos, grandezas e instrumentos
NOME: ___________________________________________Série:______
1) Observe os quadros a seguir e escreva, a numeração das grandezas que são possíveis de relacionar com cada objeto. Na terceira coluna, escreva a numeração dos instrumentos que você utilizaria para medir o objeto associado à coluna anterior. Na quarta coluna, escreva unidades de medidas que você empregaria para medir o objeto associado às colunas anteriores.
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Anexo 2 - TAREFA 2: Comprimento enquanto grandeza
NOME: ___________________________________________Série:______
a) Quem é maior: a professora ou a porta?
b) Você recebeu um cilindro de madeira, responda:
• O que é maior: a altura do cilindro ou o comprimento da borda de sua base?
• Descreva como você concluiu sua resposta
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Anexo 3 - TAREFA 3: Fazendo Medições
NOME: ___________________________________________Série:______
1) Dados quatro objetos: Cubo mágico, porta lápis de formato cilíndrico, um cubo pequeno pertencente ao material dourado e uma régua graduada. Determine as alturas desses dos três primeiros objetos.
2) Leia os espaços marcados e escreva o numeral em milímetros e centímetros que representam as letras de acordo com a régua abaixo
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http://www.clubedaeletronica.com.br/Mecanica/Metrologia%20TC-2000/metr3.pd
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Anexo 4 - TAREFA 4: Conceito de Área
NOME: ___________________________________________Série:______
1) Observe os dois objetos: um construído com lápis de cor e outro com papel sulfite. Responda:
a) As figuras têm a mesma forma?
b) Descreva a diferença que você percebe nos dois objetos.
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c) Qual desses objetos tem área? _______________________________
2) Você recebeu uma superfície, e 1 envelopes contendo 5 tipos de figuras planas agrupadas conforme as cores: verde, vermelho, marrom, amarelo e azul. Utilizando a área da superfície de cada figura como unidade de medida, verifique quantas unidades de medidas de área é necessário para cobrir a área da figura.
a) Que conclusão você pode tirar observando as figuras?
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NOME: _________________________________________Série:______
Você recebeu uma malha quadriculada. Considere o lado do quadradinho como U (unidade de medida de comprimento) e U² (superfície do quadradinho como unidade de medida de área).
EXERCÍCIO 1
Utilizando a malha quadriculada, construa quatro retângulos com medidas dos lados diferentes. Em seguida, complete o quadro abaixo:
a) Comparando as duas colunas, o que você pode perceber?
b) Você é capaz de escrever matematicamente o que observou, por meio de uma fórmula? Como você escreveria esta fórmula?
EXERCÍCIO 2
E se ao invés de retângulos você construísse quadrados? Que fórmula descreveria a relação entre a medida dos lados e a área do quadrado?
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EXERCÍCIO 3
Vamos investigar o triângulo e sua área:
a) Construa no papel quadriculado quatro triângulos retângulos. Você conseguiria saber sua área, como?
b) Preencha a tabela contando os quadradinhos:
c) Escreva uma fórmula para determinar a área de qualquer triângulo retângulo.
EXERCÍCIO 4
Construa dois paralelogramos e recorte-os.
a) É possível dizer com precisão qual a quantidade de quadradinhos que o compõe? Como?
b) Tente recortar o paralelogramo para transformá-lo num retângulo. Isso é possível? O que você percebeu
c) Preencha a tabela a seguir e depois responda a pergunta que segue:
Medida da base do paralelogramo Altura do aralelogramo Medidas dos lados do retângulo formado Quantidade de quadradinhos – área
d) Agora escreva uma fórmula para representar a área do paralelogramo.
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Anexo 6 - TAREFA 6: GEOPLANO – Área e Perímetro
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Esta situação remete-nos a adentrar em uma das propriedades julgadas essenciais para caracterizar a grandeza área, a invariância por isometrias. Para isto, a professora fez uma breve explanação, explicando que a figura pode mudar a posição e conservar as distâncias entre seus pontos, ou seja, que as medidas dos retângulos registradas na tabela da imagem acima, na verdade trata-se da mesma figura. No que diz respeito às estratégias que os alunos aplicaram nesta resolução, foram: contagem e tentativa/erro.
Já exercício 4 foi realizado com mais rapidez, comparado ao exercício 3. Tal fato se deu por poderem contar a quantidade de quadradinhos unitários antes de fazerem as figuras. Alguns alunos ainda, utilizaram a técnica da multiplicação entre dois números para obterem o número 36.
CAPÍTULO 3 - Erguendo as supraestruturas: comprimento, área e perímetro: Ligando teoria e prática
Neste capítulo traremos 4 tarefas e 1 ação, que busca relacionar ao ensino das grandezas geométricas à elaboração de plantas baixas residenciais. Iniciaremos primeiramente a partir da percepção espacial, capacidade de descrever, desenhar e posteriormente medição e representação sistemática ao mesmo tempo que os alunos ressignificavam tais conceitos.
TAREFA 7: CROQUI 1
Objetivaram a materialização do pensamento inicial do aluno sobre a composição, organização dos cômodos de suas próprias e desenvolver o pensamento geométrico por meio da memória, a criação de uma imagem artística, que pressupõe a presença de uma imaginação. Para isto, foi distribuído papel sulfite e réguas graduadas, deixando claro que as medidas dos cômodos não seriam necessárias por enquanto. Os alunos foram orientados a imaginar que estavam do alto observando suas casas sem a cobertura, e que deveriam levar em consideração somente a disposição das paredes, portas e janelas, bem como a identificação de cada cômodo.
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COMETÁRIO
Após recolhida a folha, indagamos aos alunos de como foi essa experiência, e alguns relataram:
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Ruan: Mais ou menos. Eu nunca tinha parado pra pensar na Minha Casa, os detalhes dela. Daí eu fiz mais ou menos bagunçado”
Karla:“Fácil. Quando a senhora disse pra gente olhar a casa de cima, aí eu raciocinei tudo”
Ricardo: não sou bom em desenhar, eu não tinha ideia de como começar”
Marcela: “Muito difícil. Fiz tudo errado”
Wilson:“Difícil”. Foi a primeira vez que parei pra pensar”
Estela: “Me confundi com o corredor. Não sei como fazer”
Marcos: “Muito fácil, fiz rapidinho”
Daniel: “Eu pensei que seria fácil. Tipo assim: eu morro na casa vou saber os detalhes todinhos, mas na hora que fui passar para o papel era totalmente diferente. Daí foi difícil”.
Nesta tarefa também foi possível observar poucos desenhos onde os alunos apresentam ambientes isolados, ou seja, não foram capazes de perceber a figura como um todo.
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TAREFA 8: CROQUI 2
O objetivo principal desta tarefa é elaborar um modelo que servirá de suporte para a elaboração da primeira planta baixa Minha Casa. Para isto, os alunos foram orientados na sala de aula pela professora a fazer um novo croqui seguindo as orientações do primeiro, porém este com suas respectivas medidas utilizando-se de uma trena de pedreiro e registros em folha de papel sulfite. Além disso, esta tarefa visou também, desenvolver o pensamento geométrico, por meio das representações materialistas firmes para produzir nelas o pensamento independente e melhorar significativamente a formação artística e estética do croqui anterior. O prazo de entrega foi a próxima aula que seria o dia seguinte, neste dia pedimos que os alunos comparassem os dois croquis I e II, e então após 5 minutos de reflexão fizemos o seguinte questionamento: o croqui II feito em casa está igual ao croqui I que vocês fizeram ontem na sala de aula? Houve uma rápida discussão sobre os questionamentos onde alguns alunos fizeram algumas observações.
Dentre os 16 alunos presentes na sala neste dia, somente o croqui I e II de Marcos estavam condizentes, os outros 15 alunos perceberam poucas ou muitas diferenças entre os dois croquis, conforme pode ser observado nas imagens a seguir:
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COMETÁRIO
Notemos que as cenas anteriores nos revelam a superioridade do croqui 2 em relação ao croqui 1. Isto nos levou ao seguinte questionamento: Que motivos podem estar relacionados ao sucesso de um e ou fracasso de outro croqui?
Um primeiro motivo pode estar relacionado a metodologia e consequentemente aos tipos de processos mentais que cada um desenvolve. Outro motivo, é a ajuda de um sujeito mais experiente na execução da tarefa - a mediação.
Quanto ao primeiro motivo, a metodologia sugerida no croqui 1, exigia do aluno processos mentais que incluíam essencialmente: a percepções, o pensamento e a memória. Enquanto o croqui 2, além desses processos mentais, também utilizou a habilidade sensorial visual. Essa capacidade possibilitou obter informações mais precisas sobre a casa do que a memória, como por exemplo: as forma, disposições e tamanhos dos ambientes.
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TAREFA 9: PLANTA BAIXA – MINHA CASA
Objetivou a interpretação de um espaço construído, ou mesmo inovar o fazer criativo, por meio da representação gráfica em um processo de substituição, onde o objeto real é substituído por um modelo, representado por um conjunto de símbolos, que formam uma linguagem, com signos e significados, dentro de uma lógica, em um pensamento organizado. Além disso, a tarefa objetivou aplicar conhecimentos adquiridos anteriormente sobre o estudo das grandezas geométricas, elaborar a planta baixa da sua própria casa e desenvolver nos alunos capacidades humanas por meio de uma série de transformações qualitativas, que por sua vez podem criar condições para novas transformações.
Para a confecção da planta baixa: “Minha Casa”, o material utilizado se constituiu de prancheta de MDF 1,00x0,80, régua T de 50 cm, jogo de esquadro não graduado, escalímetro, borracha nanquim, papel vegetal A3, Folha sulfite A3, lápis, caneta permanente preta 1.0mm e 2.0 mm. Essa tarefa teve a duração de 10 aulas geminadas de 2/50 minutos, equivalendo a 20 aulas de 50 minutos.
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De posse do croqui II elaborado como tarefa de casa, solicitamos aos alunos que fixassem a folha sulfite A3 na prancheta. Chamamos a atenção para refletir sobre uma melhor posição do croqui, de modo que facilitasse o início do desenho, tendo como observação o alinhamento das paredes. Também ressaltamos que a escala a ser utilizada seria a 1:50. A professora explicou que o escalímetro era uma régua retangular de três faces compostas de seis escalas diferentes utilizadas para ampliar ou reduzir desenhos, mantendo a proporcionalidade entre o real e o desenho.
Em seguida, pedimos aos alunos que marcassem a lápis um ponto de origem à esquerda e inferior da folha A3, para dar início ao desenho. Essa metodologia foi pensada, após percebermos em experiências anteriores que alguns desenhos saiam do limite da folha. Sob o comando da professora, os alunos foram orientados para fazerem todos ao mesmo tempo, uma linha vertical e uma horizontal, tendo como ponto de partida esse ponto de origem, que formará um L, dando assim a referência do desenho. Para representar a primeira parede é necessário demarcar um novo L, que ficará distante de 15 cm do anterior no sentido de dentro para fora. De posse do croqui II, os alunos foram orientados a observarem as medidas do primeiro cômodo e assim demarcarem suas primeiras dimensões. Alertamos que a cada mudança de ambiente teria que dar um espaçamento de 15 cm, que representaria as lajotas que depois de rebocadas darão origem as paredes. Nesta etapa, o esquadro e a régua T, são instrumentos fundamentais para demarcar paredes perpendiculares e paralelas. A cada comando, foi de extrema necessidade que a professora passasse em cada mesa e conferisse se os alunos conseguiram entender e atender os comandos. O mesmo processo foi utilizado para delinear as paredes verticais.
Após todos concluírem as paredes das residenciais, o próximo passo foi determinar janelas e portas. Em seguida, posicionar móveis e louças sanitárias com auxílio de gabaritos.
Após todos concluírem as paredes das residenciais, o próximo passo foi determinar janelas e portas. Em seguida, posicionar móveis e louças sanitárias com auxílio de gabaritos.
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Alguns gabaritos foram confeccionados pela própria professora, utilizando como material pastas de plástico.
Esse recurso ajudou a otimizar bastante o tempo dos trabalhos. Visto, que quando os alunos erravam, apagavam e demoravam para fazer novos móveis.
Além disso, foi confeccionado também modelo desse gabarito, porém em papel cartão em um tamanho maior como recurso para demonstrar como utilizar os gabaritos de plásticos para desenhar objetos tais como: geladeira, fogão, máquina de lavar, sofás, pias, cama, dentre outros.
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Quando concluídos os desenhos, a professora confere um por um, para que os alunos possam seguir a próxima etapa.
Nesta etapa o desenho deverá ser reproduzido para uma folha vegetal A3 e utilizando-se de canetas permanentes. Para isto, foi solicitado que fixassem uma folha vegetal A3 sobre a folha sulfite A3. As canetas permanentes 2.0 mm foram utilizadas para preencher todo o espaço que representavam as paredes.
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COMETÁRIO
Notemos que as cenas anteriores nos revelam a superioridade do croqui 2 em relação ao croqui 1. Isto nos levou ao seguinte questionamento: Que motivos podem estar relacionados ao sucesso de um e ou fracasso de outro croqui?
Um primeiro motivo pode estar relacionado a metodologia e consequentemente aos tipos de processos mentais que cada um desenvolve. Outro motivo, é a ajuda de um sujeito mais experiente na execução da tarefa - a mediação.
Quanto ao primeiro motivo, a metodologia sugerida no croqui 1, exigia do aluno processos mentais que incluíam essencialmente: a percepções, o pensamento e a memória. Enquanto o croqui 2, além desses processos mentais, também utilizou a habilidade sensorial visual. Essa capacidade possibilitou obter informações mais precisas sobre a casa do que a memória, como por exemplo: as forma, disposições e tamanhos dos ambientes.
Quando concluídos os desenhos, a professora confere um por um, para que os alunos possam seguir a próxima etapa.
Nesta etapa o desenho deverá ser reproduzido para uma folha vegetal A3 e utilizando-se de canetas permanentes. Para isto, foi solicitado que fixassem uma folha vegetal A3 sobre a folha sulfite A3. As canetas permanentes 2.0 mm foram utilizadas para preencher todo o espaço que representavam as paredes. A caneta 1.0 mm, para contornar todo o resto do desenho. Terminado essa etapa, distribuímos um modelo de tabela/legenda, contendo as seguintes informações: cômodos, medidas dos cômodos e suas respectivas áreas, para que os alunos pudessem registrar dados da planta e determinar a área.
TAREFA 10: PLANTA BAIXA – A CASA DOS MEUS SONHOS
Tem como objetivo dar autonomia, estimulando a criatividade e criticidade para que o aluno possa ser protagonista do seu próprio
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projeto e avaliar os conhecimentos dos educandos sobre grandezas geométricas. Além disso, essa atividade imputa um apelo emocional, que é a impotência de uma condição real, mas que por meio da imaginação o aluno vai manipular informações da memória e converter elementos criando uma nova realidade, não impedindo-o de vivenciar suas expectativas.
Para realizar o desenho da planta, os alunos foram orientados a pesquisar na internet ou em revistas, projetos de plantas baixas para observassem os cômodos, suas áreas, e localização dos cômodos, e que a partir dessas observações criassem um croqui que atendessem seus desejos. A princípio foi solicitado apenas que fizessem um croqui sem medidas. As medidas dos ambientes seriam determinadas em sala de aula, ao mesmo tempo em que começassem a desenhar a planta baixa em papel sulfite A3.
Os alunos tiveram um prazo de uma semana para trazer suas primeiras propostas referentes às partes que constituem uma planta baixa, ou seja, escolha das quantidades de cômodos, disposição dos mesmos e até mesmo componentes de recreação, tais como: piscina, área de churrasqueira, parquinho, etc.
Após a pesquisa, os alunos receberam o material de desenho e em aulas de matemática começaram a compor suas plantas. Essa tarefa teve a duração de 8 aulas geminadas de 2/50 minutos, equivalendo a 16 aulas de 50 minutos.
Ressaltamos que nesta fase, os alunos já possuíam um conhecimento mais elaborado adquiridos nos croquis II e planta baixa anterior, optando por fazê-lo utilizando as técnicas empregadas na planta baixa- Minha Casa, utilizando o escalímetro, louças sanitárias, portas, janelas e mobília etc., o que otimizou bastante nosso tempo para realiza-lo. Houveram algumas sugestões, conduções e intervenções por parte da professora, como por exemplo alertar os alunos quanto: básculas na direção do chuveiro, guarda-roupas na frente de janelas, banheiros com portas para área social, áreas de serviço próximas a cozinha etc.
Depois de finalizado o desenho da planta baixa – A Casa dos meus Sonhos, o mesmo foi reproduzido para uma folha vegetal A3, seguindo as mesmas orientações técnicas da Planta Baixa – Minha Casa.
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COMETÁRIO
Percebemos que diversas formas de experiências sociais contribuíram para a elaboração da planta baixa: A Casa dos meus Sonhos”. Escolhemos três das quais achamos representar melhor as demais experiências.
Marcos: Vou fazer uma casa top, igual a que vi na internet. O quarto é assim meio redondo (nesse momento o aluno gesticula com as mãos tentando representar e comunicar seu pensamento sobre o formato do quarto que se assemelha a um hexágono)
Karla: A minha mãe trabalhava numa casa duplex. Quando eu fui lá achei muito bonita. Aí falei: Ah mãe, quando eu começar a trabalhar vou fazer uma casa assim, duplex. Quando a senhora disse que teríamos que pensar na Casa dos meus Sonhos lá no começo, eu já sabia qual era a minha. Só não contei pra ninguém (Rs).
Laís: [...] casa que eu moro não é minha é do meu tio, ele nos emprestou a casa. Aí eu quero e vou se Deus quiser fazer uma casa igual a que desenhei.
Professora: O que você pensou quando fez o desenho da Casa dos meus Sonhos?
Laís: Eu fiz pensando na quantidade de pessoas que tem na Minha Casa. Seria um quarto pra minha mãe e para meu pai. Um é meu, o outro das minhas duas irmãs, e o outro da minha avó e do meu avô.
Percebemos que alguns recorreram a internet, buscando reunir elementos com o intuito de elaborar a casa de seus sonhos que melhor o satisfizesse, outros a visita à uma casa que causou encantamento e ainda aqueles que foram motivados pelo planejamento familiar, ou seja, a preocupação de elaborar uma casa com a quantidade de quartos que atendesse de forma satisfatória o número de moradores. As imagens a seguir apresentam as plantas baixas “A Casa dos Meus Sonhos” destes três alunos.
MARCOS
KARLA
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LAIS
AÇÃO 4: Exposições De Plantas Baixas Na Escola
Esta ação objetivou dar condições de socializar e valorizar os trabalhos produzidos pelos alunos, de forma a tornar públicas as atividades significativas desenvolvidas no ambiente escolar, bem como promover a integração dos conteúdos de grandezas geométricas a elaboração de Plantas Baixas. Para promover essa ação, organizamos dois murais, dispondo em um dos murais as Plantas Baixas - Minha Casa e no outro as Plantas Baixas - A Casa dos meus Sonhos. Ambos dispostos na parede do pátio interno da escola, no mês de Novembro/2017 e organizados pelos próprios alunos. A escolha deste lugar se deu pelo fato de ser estratégico, possuindo uma grande articulação entre os ambientes da escola. Por ali é possível ter acesso a secretaria, sala dos professores, entrada e saída de alunos e comunidade local.
Para a organização dos murais, foram disponibilizadas duas aulas de 50 minutos de matemática, e os alunos se organizaram em grupos. Cada grupo exercia uma tarefa. Uns digitavam textos e os imprimiam na secretaria da escola, outro fixavam as folhas de fundo caracterizado o mural. E ainda, aqueles que eram responsáveis pela fixação das plantas em seus respectivos murais.
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Os trabalhos ficaram expostos no período de 15 dias, tempo este propicio para a visualização pela comunidade em reunião de pais e rematrículas.
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COMETÁRIO
Esta exposição foi a culminância da nossa pesquisa, onde compartilhamos o crescimento intelectual do aluno. Um outro fator importante, do que a própria exposição, foi o olhar de curiosidade e de encantamento das pessoas que passavam pelo pátio. Uns tentavam identificar os nomes de alunos conhecidos, outros teciam elogios pela qualidade e criação dos desenhos e ainda houveram aqueles que desenvolveram o desejo de participar do projeto em anos futuros.
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CAPÍTULO 4: Fazendo o acabamento:
... o que, pra que e onde.
Sabemos que as mudanças educacionais são extremamente complexas e que imensa é a jornada de ensinar. As vezes pensamos em desistir, desanimamos frente a tantos obstáculos que diariamente a vida nos impõe. Falta-nos recursos, cooperação, afeto, compreensão, diálogo, ousadia, confiança em nós mesmos e muito mais. Muitas vezes vivemos uma realidade financeira contrária as nossas necessidades pessoais e profissionais, tornando mais difícil ainda nossa jornada.
Apesar disso, optamos a profissão: professor. Todos os dias adentramos em um universo complexo chamado sala de aula. Um universo cheio de desafios e oportunidades, no qual experimentamos várias sensações entre elas, infelizmente, o fracasso. Fracassamos por diversas razões independente da nossa vontade, mas também quando insistimos em temer o novo, quando continuamos privilegiando um modelo de ensino que prioriza a memorização, repetição e a imitação.
Logo no início da pesquisa de mestrado, tínhamos alguns questionamentos, preocupávamo-nos sobre: como abordar o tema grandezas geométricas; quais tarefas a serem trabalhadas e quais conceitos que elas poderiam nos oferecer; e quais recursos poderiam potencializar o estudo das grandezas comprimento, área e perímetro.
E ao estabelecer as reais possibilidades de a teoria histórico-cultural fornecer suporte capaz de melhorar a qualidade do ensino, tínhamos em mente o estudo dessas grandezas pleno de significado e, portanto capaz de ser aplicado futuramente ao cotidiano por meio da construção das plantas baixas.
Deste modo, optamos por iniciar com o estudo das grandezas e medidas, propondo ações/tarefas de maneira a construir os alicerces para o aprofundamento do nosso tema de pesquisa, para depois prosseguirmos, perpassando pela grandeza comprimento e finalmente chegarmos as grandezas área e perímetro.
Para isto, buscamos referências teóricas que nos permitiram proporcionar aos alunos algumas discussões, reflexões e o estudo sobre as grandezas geométricas.
Ao elaborar plantas baixas, o aluno pôde refletir sobre a importância do estudo das grandezas geométricas, que, nesse sentido está intimamente relacionado as atividades cotidianas. Além de estimular as diversas habilidades dos alunos, pudemos motivar a atenção deles por meio de tarefas/ações em que perceberam as aplicações da teoria no cotidiano, abandonando, deste modo, da memorização e começando pela descoberta do conhecimento de forma simples.
Além desses aspectos favoráveis, a experiência com a elaboração de plantas baixas também permitiu aos alunos potencializar a sua criatividade, de forma a compreender melhor o significado do conceito das grandezas geométricas ao passo que despertava o desejo, o prazer, a motivação e principalmente o orgulho de si mesmos, ao deparar-se com tamanho projeto de vida que caminhou juntamente com a aprendizagem.
Esperamos que este fascículo possa auxiliar o professor a experimentar a sensação do sucesso, na torcida de que este trabalho seja capaz de auxiliá-lo para uma prática pedagógica objetivada em produzir conhecimentos não apenas de forma cumulativa, isto é, do mesmo modo como se constrói uma casa – colocando lajota por lajota-, mas também, de modo dinâmico, com ressignificações sucessivas, em busca de representações viáveis e coerentes com o mundo das experiências humanas.
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COMETÁRIO
Caro professor, a escolha destes dois primeiros momentos nos parece especialmente interessante, pois permite fomentar de forma natural e informal o questionamento sobre o conceito de medir. Por isso, recorremos a história das grandezas, não somente para a apresentação do conteúdo, mas com a finalidade de levar os alunos a perceberem que a necessidade prática de mensurações foi o que levou as civilizações antigas a desenvolverem técnicas.
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CAPÍTULO 1 - Preparando o terreno para as Grandezas e Medidas
Para estudar as grandezas geométricas e elaborar plantas baixas, precisamos antes de mais nada, compreender o que são grandezas, e como elas se apresentam numa edificação. Este capítulo tem o objetivo de apresentar as grandezas e medidas como ponto de partida para nosso tema de estudos: grandezas comprimento, área e perímetro. Para isso delineamos caminhos possíveis perpassando por cinco momentos: (1) Contemplar a história das grandezas e medidas; (2) Discutir sobre os tipos de moradia, partindo de um contexto desde os primórdios até o atual com discussões sobre a evolução e tipos de moradias; (3) Discussão sobre grandezas e medidas. (4) tarefa 1- relacionando objetos, grandezas e instrumentos.
AÇÃO 1: História das grandezas e medidas
O primeiro momento se deu por meio de apresentação de slides, com duração de 20 minutos, onde apresentamos um breve apanhado sobre o surgimento dos conceitos que são focados neste grupo – grandezas e medidas. Partimos da história da humanidade, onde procuramos evidenciar as necessidades históricas que motivaram a criação deste conceito.
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COMETÁRIO
Esse tipo de discussão auxiliam os alunos a perceberem a necessidade de uma unidade de medida e de um instrumento para medir.
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Iniciamos com a necessidade de medir que estava diretamente relacionada principalmente com a necessidade de alimentação do homem primitivo, perpassando pela substituição da atividade de caça e da coleta de frutas, pela domesticação de animais e plantio de cereais.
Abordamos também as primeiras unidades de medidas utilizadas pelo homem, que foram inicialmente baseadas em partes do próprio corpo (medidas antropométricas): comprimento da palma, da passada, do pé, grossura do dedo, etc. Justificamos a padronização das unidades de medidas como a consequência do desenvolvimento do homem convivendo em sociedade.
A partir dessa retomada histórica, chegamos a algumas explicações matemáticas que nos ajudaram a compreender melhor o termo grandeza. Que segundo Lima e Moisés (1998), grandeza é a variação da quantidade de uma dada qualidade comum a vários corpos. Ou seja, tudo que pode ter suas medidas aumentadas ou diminuídas e que pode ser medido e contado.
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AÇÃO 2: Discussão sobre o tema moradia
Com o intuito de justificar a importância das grandezas geométricas na elaboração de plantas baixas, inserimos o tema moradia, partimos da mudança no estilo de vida do homem primitivo até os dias atuais. Isto é, em decorrência do desenvolvimento da agricultura e domesticação dos animais, o ser humano deixou de ser nômade (sem moradia fixa) para tornar-se sedentário (com moradia fixa). Este fato permitiu o desenvolvimento das primeiras comunidades (tribos, aldeias, vilas e cidades).
Aqui sugerimos a reflexão sobre o tema moradia a partir de algumas questões tais como:
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Esses questionamentos nos favoreceu introduzir o conteúdo de grandezas e medidas e o próprio conceito e medir. Sugerimos abaixo algumas possibilidades de questionamentos empregados na pesquisa e que possa auxiliar o professor a provocar a reflexão dos alunos à cerca do conceito de medir.
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AÇÃO 3: Discussão sobre grandezas e medidas
Este terceiro momento teve a duração de 1 hora e 40 minutos e objetivou discutir as relações entre objetos, instrumentos e unidades de medidas.
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COMETÁRIO
Esse tipo de discussão auxiliam os alunos a perceberem a necessidade de uma unidade de medida e de um instrumento para medir.
Para iniciar a aula foi colocado sobre a mesa uma sacola que continha alguns objetos: uma saleira, 1 pacote de 1 kg de feijão,1 grão de feijão e 3 tipos de remédios (o primeiro no estado líquido contendo 15 ml com conta gotas, o segundo, também no estado líquido contendo 80 ml com copo dosador de capacidade de até 40 ml, e o terceiro, no estado sólido contendo 600 mg no formato de comprimidos),
O primeiro item a ser retirado da sacola foi uma saleira. Oralmente, foi sugerido a necessidade de medir uma quantidade de sal e como essa medição poderia ser feita. Prontamente a maioria respondeu: colher e dedos. Em seguida, apresentamos duas colheres, sendo uma de sopa e outra de chá, induzindo a uma nova discussão, guiada pelos seguintes questionamentos:
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COMETÁRIO
De maneira geral é provável que os alunos não saibam conceituar “o que é medir”, mas muitos conferem a este algum significado subjetivo. Como por exemplo dizer: “Pegar a trena e medir” “É só pegar uma trena” ou “contar”. Neste momento já está evidente a compreensão da necessidade de um instrumento de medida e já aparece uma relação entre medida e medir: a contagem.
AÇÃO 3: Discussão sobre grandezas e medidas
Este terceiro momento teve a duração de 1 hora e 40 minutos e objetivou discutir as relações entre objetos, instrumentos e unidades de medidas.
Para iniciar a aula foi colocado sobre a mesa uma sacola que continha alguns objetos: uma saleira, 1 pacote de 1 kg de feijão,1 grão de feijão e 3 tipos de remédios (o primeiro no estado líquido contendo 15 ml com conta gotas, o segundo, também no estado líquido contendo 80 ml com copo dosador de capacidade de até 40 ml, e o terceiro, no estado sólido contendo 600 mg no formato de comprimidos).
O primeiro item a ser retirado da sacola foi uma saleira. Oralmente, foi sugerido a necessidade de medir uma quantidade de sal e como essa medição poderia ser feita. Prontamente a maioria respondeu: colher e dedos. Em seguida, apresentamos duas colheres, sendo uma de sopa e outra de chá, induzindo a uma nova discussão, guiada pelos seguintes questionamentos:
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Dando continuidade, os seguintes itens a serem retirados da sacola foram 3 tipos de remédios, onde foi induzido um diálogo a partir dos questionamentos:
COMETÁRIO
De maneira geral é provável que os alunos não saibam conceituar “o que é medir”, mas muitos conferem a este algum significado subjetivo. Como por exemplo dizer: “Pegar a trena e medir” “É só pegar uma trena” ou “contar”. Neste momento já está evidente a compreensão da necessidade de um instrumento de medida e já aparece uma relação entre medida e medir: a contagem.
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E por fim, foram retirados da sacola 1 pacote de 1 kg de feijão, 1 grão de feijão, onde levantamos os seguintes questionamentos:
COMETÁRIO
Embora não tivéssemos a intenção de expressar o resultado dessa comparação por um número, os questionamentos acima apresentam possibilidades para fomentar os dois primeiros aspectos: (1) escolha da unidade; (2) comparação com a unidade.
ANNOUNCEMENTS
COMETÁRIO
Embora não tivéssemos a intenção de expressar o resultado dessa comparação por um número, os questionamentos acima apresentam possibilidades para fomentar os dois primeiros aspectos: (1) escolha da unidade; (2) comparação com a unidade.
COMETÁRIO
Caraça (1951) ressalta que o problema da medida possui três fases e três aspectos distintos a se considerar: (1) escolha da unidade; (2) comparação com a unidade e (3) expressão do resultado dessa comparação por um número. Percebemos aqui, que as próprias situações vivenciadas por vezes, determinaram as respostas para cada questionamento. Essa metodologia permitiu fazer uma explanação sobre as grandezas e medidas, mostrando algumas possíveis relações existentes entre as grandezas, instrumentos e unidades de medidas, inferindo em melhores escolhas e possibilidades para cada situação cotidiana. Desta forma utilizaremos desta experiência para associar aos objetos, instrumentos e unidades apresentadas na tarefa 1 a seguir.
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Tarefa 1: Relacionando grandezas, instrumentos e unidades de medidas
Trata-se de uma tarefa adaptada, destinada ao proeja “Medindo Comprimentos e Áreas” organizada pelo GEPEM- Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática.
O objetivo desta tarefa foi apresentar diferentes objetos, instrumentos e unidades de medidas e relaciona-los corretamente. Esse material foi reproduzido, em folha de papel A4, contendo 15 imagens de objetos, 6 de grandezas, 14 instrumentos de medidas e uma tabela para registro das possíveis relações. Foi entregue para cada aluno e realizada em 50 minutos, sendo 30 minutos para a realização e 20 minutos para a socialização, discussão e reflexão em grupo. Nossa intenção também foi de gerar nos sujeitos diferentes relações colocando em cheque seus conhecimentos, o bom senso e a linearidade das relações estabelecidas por eles.
COMETÁRIO
Vale destacar que caracterizamos como bom senso o que é mais aplicável, como por exemplo evitar algumas relações do tipo medir o volume de agua de uma piscina utilizando-se uma xicara ou a massa de uma pessoa com balança de pratos.
Percebemos que os alunos relacionam com destrezas as grandezas comprimento, tempo e massa. Mas apresentam dificuldades para relacionar as grandezas volume e área a instrumentos e unidades de medidas. Perceber as causas que o influenciou negativamente é tão importante quanto positivamente. Assim, podemos fazer adaptações do ensino a serviço do raciocínio contextualizado e pleno de sentido. Porém, as observações e diferentes percepções dos alunos enriqueceram a discussão do grupo
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CAPÍTULO 2 - Construindo a base para as grandezas geométricas: o comprimento, área e perímetro
Para o estudo das grandezas geométricas se faz indispensável as medições. Este capítulo tem o objetivo de iniciar pela a grandeza comprimento, como grandeza básica para o estudo das grandezas geométricas, perpassando pelas grandezas área e perímetro. Pensando nisso apresentamos cinco tarefas: Tarefa 2: Comprimento enquanto grandeza; Tarefa 3: Fazendo medições; Tarefa 4: Conceito de área; Tarefa 5: Geometria plana-área e Tarefa 6: Área e perímetro.
TAREFA 2: Comprimento enquanto Grandeza
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Essa tarefa, integra o tema Medida que está intimamente ligada à gênese do nosso interesse em estudar grandezas geométricas, começando pela grandeza comprimento. Esta tarefa desdobra-se em torno de duas discussões. A primeira “Quem é maior: a professora ou a porta?” objetiva comparar a grandeza geométrica básica, o comprimento, associando-o a objetos geométricos retilíneos, utilizando somente a percepção visual. A segunda discussão objetiva a ampliação da grandeza comprimento para a distância entre dois pontos podendo este ser uma curva. Embora entendemos a importância do quadro numérico e o uso das medidas, buscamos também por uma situação que favorecesse a compreensão do conceito comprimento e que a introdução dessa grandeza fosse realizada com situações que antecedam o uso da medida.
Para isto, utilizamos três protótipos de cilindro de madeira, que foram distribuídos para os alunos para que pudessem manuseá-los e criar estratégias para resolução da seguinte questão: o que é maior: a altura do cilindro ou o comprimento de sua base?”
DICA: Podemos substituir os protótipos de cilindros de madeiras por latinhas de refrigerantes. Funciona muito bem!
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Os alunos foram orientados em um primeiro momento a não divulgar suas respostas, com o intuito de que todos pudessem ter a oportunidade de criar suas conjecturas sem influência dos demais.
Observamos durante a execução dessa tarefa que, a maioria dos alunos tentou chegar à solução do problema pelo processo de visualização, e que do total de 5 alunos, somente três desses alunos utilizaram outros recursos.
RESSIGNIFICANDO OS CONCEITOS DE GRANDEZAS GEOMÉTRICAS A PARTIR DA ELABORAÇÃO DE PLANTAS BAIXAS RESIDENCIAIS
Glaziéla Vieira Frederich
Sandra Aparecida Fraga da Silva
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Ifes
2018
CHANGES
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática
Glaziéla Vieira Frederich
Sandra Aparecida Fraga da Silva
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RERESSIGNIFICANDO OS CONCEITOS DE GRANDEZAS GEOMÉTRICAS A PARTIR DA ELABORAÇÃO DE PLANTAS BAIXAS RESIDENCIAIS
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo
Vitória, Espírito Santo
2018
MINICURRÍCULO DOS AUTORES
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Glaziéla Vieira Frederich
Licenciada em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo - UFES (2003), graduada em Pedagogia pelo Instituto de Educação e Tecnologia (2012), especialista em Psicopedagogia Institucional pela Universidade Candido Mendes – UCAM (2005), técnica em Edificações pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo – CEFOR (1998) e mestranda em Educação em Ciências e Matemática pelo programa Educimat/Ifes. Atualmente é professora efetiva em duas redes públicas de ensino: MaPb V da Prefeitura Municipal de Cariacica e MaPb III da Prefeitura Municipal de Vitória.
Sandra Aparecida Fraga da Silva
Licenciada em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo – UFES (2000), mestre (2004), doutora em Educação (2009) com ênfase em Educação Matemática e aluna de pós-doc ...... É professora do Instituto federal do Espírito Santo – Ifes/campus Vitória atuando na licenciatura em Matemática e no mestrado profissional em Educação de Ciências e Matemática – EDUCIMAT. Coordena o subprojeto de Matemática do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência e o Laboratório de Ensino de Matemática do Ifes/Vitória. Lidera o Grupo de Pesquisa em Prática Pedagógica em Matemática – Grupem, desde 2011, e vice-líder do Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo – Geem-ES, desde 2006. É editora geral da revista Sala de Aula em Foco do Ifes.
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INTRODUÇÃO
Assim sendo, procuramos tratar da importância de experiências pedagógicas que articulem teoria e prática, oportunizando o aluno como sujeito transformador e ativo em seu processo de aprendizagem, levando-o a adquirir conhecimentos, competências e habilidades.
Consequentemente, essa pesquisa de mestrado foi sustentada pelos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, e em particular a Teoria da Atividade, que segundo Leontiev (2012), Vigotski (1998) e Davidov (1998), destacam a atividade e sua relação com os motivos como elemento de mediação do processo de apropriação do saber universal do homem.
Diante do exposto, uma dúvida surge: Como posso pensar em ensino e aprendizagem de grandezas geométricas olhando os pressupostos da teoria da atividade?
Pensando na organização do ensino e em ações desencadeadoras de aprendizagem, nossa intenção é propiciar aos sujeitos a compreensão sobre os conceitos das grandezas geométricas, como algo que responde a uma determinada necessidade e que tragam em si embutidas a essência do que impulsionou a humanidade a este conceito. Por consequência, nosso desafio foi desenvolver junto aos alunos dos anos finais do ensino fundamental, uma atividade que privilegiasse o desenvolvimento científico e cultural. E que, ao decorrer dessas atividades, a mesma se transforme na necessidade do aluno e que possibilite levar para a sala de aula elementos construídos culturalmente.
Isto posto, organizamos uma unidade didática com o objetivo de estudar os conceitos de grandezas geométricas e um projeto disciplinar intitulado “Planta Baixa - Minha Casa” e “Planta baixa - Casa dos meus sonhos”. Este projeto disciplinar, para ser compreendido como atividade, deve ser um projeto de indivíduos que a partir de suas necessidades engajam-se numa proposta de ação coordenada. Ao convergirem seus motivos compreensíveis em motivos eficazes, o professor articula sua prática em torno do seu objetivo e passa a desencadear ações planejadas. Essas ações podem ser divididas em diferentes operações necessárias para atingir os objetivos traçados a princípio. O projeto-atividade oportuniza, dessa maneira, aprofundamento da construção do consciente e o crescimento pessoal.
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APRESENTAÇÃO
Este guia didático destina-se a professores de matemática que desejam trabalhar com alunos o conteúdo de grandezas geométricas, com ênfase ao conceito de comprimento, perímetro e área de figuras planas recorrendo a elaboração de plantas baixas residenciais. As ações/tarefas apresentadas foram desenvolvidas em uma turma do oitavo ano do Ensino Fundamental, durante a pesquisa de mestrado (Frederich, 2018) do primeiro autor deste material, sob a orientação da segunda autora.
Alguns aspectos reforçam a necessidade do estudo das grandezas geométricas. Seu estudo compreende um campo privilegiado de inúmeras possibilidades de articulações, que podem ser justificadas por Bellemain e Lima (2002, p. 7): “[...] seu papel tem sido apontado como muito importante na articulação entre os domínios matemáticos da aritmética, da geometria e da álgebra e entre a Matemática e outras disciplinas abordadas na escola”.
Lorenzato (1995) também reforça a importância das grandezas geométricas por se tratar de um campo rico em aplicações práticas, que auxilia na resolução de problemas e proporciona habilidades como: generalizar, comparar, descrever, abstrair. Num contexto mais amplo, as grandezas geométricas são essenciais para a construção do pensamento geométrico, pois permite ao indivíduo, reconhecer e utilizar vários tipos de formas e medidas para seu próprio benefício. Além disso, trazemos uma proposta de trabalho que utiliza materiais manipulativos como recurso complementar na sala de aula.
Muitos alunos têm dificuldades na compreensão de certos conceitos porque são incapazes de fazer relação entre o mundo físico e abstrato. Sendo assim, desenvolvemos em sala de aula ações/tarefas visando estimular a compreensão conceitual, importante para o estudo das grandezas comprimento, área e perímetro. Contudo é necessário a mediação do professor/aluno ou aluno/aluno, para ajudar o indivíduo que tem mais dificuldade a fazer essas relações. Desse modo, aprender, torna-se um processo ativo, que perpassa por diversas interações: com o meio e com os materiais manipulativos.
Pretendemos que este guia seja um material de apoio para o professor e que, além de oferecer exemplos de ações/tarefas, sirva de inspiração para a criação de novas práticas pedagógicas.
Dessa forma, na introdução abordaremos um pouco do que foi a pesquisa de mestrado que subsidiou a construção desde guia, bem como as teorias que a embasam; na sequência relatamos como o trabalho foi desenvolvido em cada ação/tarefa e apresentamos, de forma comentada, algumas tarefas realizadas e nos anexos trazemos modelos das tarefas realizadas com os alunos durante a pesquisa.
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O conceito de atividade compreendido dentro dos pressupostos histórico-culturais, presume duas dimensões: a prática, constituída de ações, operações e objeto e, a teórica, onde encontramos o motivo, objetivo e proposta de ações. E é somente nesta unicidade que ela existe. Entendemos que o projeto planta baixa com vistas ao estudo de conceitos de grandezas geométricas oferecida no contexto da pesquisa, pode apresentar aspectos de desenvolvimento que nos mostrem que teoria e prática são indissolúveis.
Este fascículo apresenta um recorte de uma pesquisa de mestrado profissional que analisa indícios de apropriações de conceitos de grandezas geométricas no Ensino Fundamental a partir de construção de plantas baixas residenciais.
Além disso, apresenta uma sequência de ações que foram organizadas e desenvolvidas durante o ano letivo de 2017 com alunos do 8° ano de uma Escola de Ensino Fundamental da Rede Municipal de Vitória-ES.
O nosso objetivo com este guia é apresentar um breve resumo dessas ações culminando na elaboração de duas plantas baixas residenciais: “Minha Casa” e “A casa dos meus sonhos”, destacando as dificuldades e sugerindo ações que contribuam para minimizar as mesmas.
Para sustentar o tema principal da pesquisa, optamos pelos trabalhos de Douady & Perrin-Glorian (1989), que propõe em seus estudos que o conceito de área como grandeza favorece a construção das relações necessárias, entre os aspectos geométricos e numéricos.
Ainda nesse contexto, fez-se necessário os estudos de Bellemain e Lima (2002) que tratam do ensino e aprendizagem das grandezas geométricas. Para dar suporte à questão diretamente ligadas a utilização dos materiais manipulativos, investimos nossas leituras no trabalho de Vale (2002), que ressalta que cada novo conceito introduzido com materiais manipuláveis permite que a matemática se torne viva e dê significado a ideias abstratas através de experiências com objetos reais. Segundo esta pesquisadora não é suficiente para os alunos observar a demonstração do uso destes materiais em uma determinada situação, mas de fato manipulá-los para que possam experienciar padrões e relações que são o foco da matemática.
Como teoria e prática são duas categorias que indicam uma relação, fez-se importante as contribuições de Vasquez (1977,1997), que trata desta indissociabilidade. E por fim, considerando a escola como lugar de fundamental articulação entre teoria e prática, tratamos ainda nesta pesquisa sobre a Atividade de Estudo segundo Martins (2016), cuja mediação do professor tem papel essencial na organização do ensino de modo que permita ao estudante apropriar-se da cultura.
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COMO AS AÇÕES/TAREFAS FORAM DESENVOLVIDAS
Na pesquisa de mestrado citada anteriormente, as ações/tarefas foram desenvolvidas com 21 alunos do 8° ano do Ensino fundamental, na qual a pesquisadora Glaziéla Vieira Frederich era a professora de matemática. As ações/tarefas foram realizadas no período de abril a novembro de 2017.
A escola na qual a pesquisa foi realizada é de pequeno a médio porte e a estatística de registros no Senso Escolar de 2016 foi de 460 alunos no total. É uma instituição de ensino antiga na comunidade e a maior parte dos pais dos alunos estudou neste espaço.
O local da pesquisa foi o ambiente da sala de aula da referida turma, onde os sujeitos estudam. Várias ações/tarefas envolvendo a manipulação de materiais, foram realizadas e caracterizam-se por utilizar material concreto, tarefas individuais/em grupos, elaboração de plantas baixas, dentre outros.
Na arte da construção civil, a primeira coisa a fazer é preparar o terreno onde se pretende construir. O ideal é que seja retirado todo o mato e ter uma cerca para demarcar o local que será construída a edificação. Nessa preparação também demanda a terraplanagem para o nivelamento adequado. Em seguida, devemos preparar uma boa infraestrutura (fundação), que é a base indispensável para a edificação. A fundação de uma casa é a base dela. Portanto é muito importante que seja construída de forma correta, atendendo ao tipo de solo, para que possa suportar o peso e fixar a construção. Depois de consolidar uma boa base, erguemos as supra estruturas, que são elementos de uma estrutura, que se projetam acima da base, como: pilares, paredes, vergas etc.
Embora existam ainda muitas ações durante a execução da obra, finalmente a construção de uma casa chega a fase de acabamento. É quando chega o momento de colocar pisos, forros, louças, metais sanitários, pintura, armários, esquadrias. Nesta etapa, que o fator principal a ser considerado é ter uma construção sólida e de qualidade, além da estética ou aparência dos mesmos. Existem muitas opções a serem escolhidas e ninguém escolhe só por gosto. Há de se considerar a durabilidade, opções de custo e das recomendações para cada tipo de ambiente. Nesta fase do acabamento, é também o momento especial em que os proprietários da obra são levados por muito entusiasmo e ao mesmo tempo muitas emoções.
Assim, permeamos as metáforas da arte da construção civil na nossa escrita como se estivéssemos construindo o guia didático, lajota por lajota.
O primeiro capítulo, intitulado Preparando o terreno para as grandezas e medidas, representa a gênese de tudo, e apresenta resumidamente ações que oportuniza um breve estudo sobre as grandezas e medidas, para que posteriormente possamos ampliar nossas compreensões sobre as grandezas geométricas.
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No capítulo 3, Erguendo as supraestruturas, comprimento, perímetro e área: Ligando teoria e prática, representa o auge deste trabalho. Nesta, fazemos uma síntese das ações que relaciona os conceitos de grandezas geométricas a produção das plantas baixas.
Não foi possível apresentar todas as ações desenvolvidas durante a pesquisa, portanto selecionaremos algumas que consideramos mais relevantes, para que não se perca nossa intenção principal, que é levar os sujeitos a compreensão sobre os conceitos das grandezas geométrica, como algo que responde a uma determinada necessidade histórica.
O quadro a seguir apresenta uma síntese dos capítulos 1, 2 e 3 com suas respectivas ações.
No capítulo 4, Fazendo o acabamento: o que, pra que e onde, apresentamos nossas considerações finais, iniciando pelo nosso objeto de pesquisa: as grandezas geométricas, ressaltando a necessidade do estudo destas e direcionando a uma prática pedagógica contextualizada por meio da elaboração das plantas baixas.
AÇÕES COMENTADAS
Com as ações comentadas a seguir, pretendemos compartilhar nossa experiência e despertar o interesse dos professores para a adaptação ou (re)elaboração de novas ações que tenham como foco o estudo das grandezas geométricas. Reiteramos que essas ações foram desenvolvidas com alunos do 8° ano do ensino fundamental 2, porém reconhecemos que grande parte delas pode ser realizada também com alunos de outras séries do ensino fundamental 2 e até mesmo das séries do ensino fundamental 1.
Ao desenvolvermos cada ação, fazemos uma rápida descrição com orientações da mesma e nos comentários relatamos como foi a nossa experiência ao realiza-la. Acrescentamos sugestões em forma de balões na qual dialogamos com o professor fomentando algumas reflexões. Dessa forma, esperamos que o docente reflita sobre sua prática e perceba-se como um mediador do processo de ensino e aprendizagem sob a perspectiva histórico-cultural.
Então, mãos à obra....
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No capítulo 3, Erguendo as supraestruturas, comprimento, perímetro e área: Ligando teoria e prática, representa o auge deste trabalho. Nesta, fazemos uma síntese das ações que relaciona os conceitos de grandezas geométricas a produção das plantas baixas.
Não foi possível apresentar todas as ações desenvolvidas durante a pesquisa, portanto selecionaremos algumas que consideramos mais relevantes, para que não se perca nossa intenção principal, que é levar os sujeitos a compreensão sobre os conceitos das grandezas geométrica, como algo que responde a uma determinada necessidade histórica.
O quadro a seguir apresenta uma síntese dos capítulos 1, 2 e 3 com suas respectivas ações.
No capítulo 4, Fazendo o acabamento: o que, pra que e onde, apresentamos nossas considerações finais, iniciando pelo nosso objeto de pesquisa: as grandezas geométricas, ressaltando a necessidade do estudo destas e direcionando a uma prática pedagógica contextualizada por meio da elaboração das plantas baixas.
AÇÕES COMENTADAS
Com as ações comentadas a seguir, pretendemos compartilhar nossa experiência e despertar o interesse dos professores para a adaptação ou (re)elaboração de novas ações que tenham como foco o estudo das grandezas geométricas. Reiteramos que essas ações foram desenvolvidas com alunos do 8° ano do ensino fundamental 2, porém reconhecemos que grande parte delas pode ser realizada também com alunos de outras séries do ensino fundamental 2 e até mesmo das séries do ensino fundamental 1.
Ao desenvolvermos cada ação, fazemos uma rápida descrição com orientações da mesma e nos comentários relatamos como foi a nossa experiência ao realiza-la. Acrescentamos sugestões em forma de balões na qual dialogamos com o professor fomentando algumas reflexões. Dessa forma, esperamos que o docente reflita sobre sua prática e perceba-se como um mediador do processo de ensino e aprendizagem sob a perspectiva histórico-cultural.
Então, mãos à obra....
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COMETÁRIO
Caro professor, a escolha destes dois primeiros momentos nos parece especialmente interessante, pois permite fomentar de forma natural e informal o questionamento sobre o conceito de medir. Por isso, recorremos a história das grandezas, não somente para a apresentação do conteúdo, mas com a finalidade de levar os alunos a perceberem que a necessidade prática de mensurações foi o que levou as civilizações antigas a desenvolverem técnicas.
creditamos que essa escolha didática, também ajudará os alunos, a perceber a passagem do quadro das grandezas para o quadro numérico e que nem sempre a percepção visual é um método seguro e eficaz.
O primeiro utilizou uma caneta, porém como não obteve êxito ao medir o comprimento da base do cilindro resolveu medir o diâmetro da base, dizendo que comprimento da base e diâmetro eram a mesma coisa. O segundo, contorna a borda do cilindro com as mãos, mas não consegue arrumar estratégias para medir a altura. Já o terceiro aluno considerou o palmo como unidade de medida, contornando o cilindro com as mãos, e depois abrindo as mãos quase que em um formato de L (na verdade foi o máximo que esta conseguiu abrir sua mão, mas ficou evidente a intenção de comparar figuras retilíneas) para medir a altura, concluindo assim a solução correta. Quando relacionamos as respostas dos alunos a estratégia utilizada por eles, podemos concluir que somente esse último aluno apresentou argumento satisfatório, pois este não se limitou apenas a percepção sensorial, buscando estabelecer uma unidade de medida: as mãos.
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TAREFA 3- Fazendo Medições
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a) Dados quatro objetos: Cubo mágico, porta lápis de formato cilíndrico, um cubo pequeno pertencente ao material dourado e duas réguas. Determine a altura dos três primeiros objetos.
b) Leia os espaços marcados e escreva o numeral em milímetros e centímetros que representam as letras de acordo com a régua abaixo.
http://www.clubedaeletronica.com.br/Mecanica/Metrologia%20TC-2000/metr3.pd
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TAREFA 3- Fazendo Medições
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COMETÁRIO
Na realização da tarefa 3A, os alunos foram orientados a não divulgar seus resultados. Para isto, providenciamos uma caixa que, colocada de forma proposital impossibilitou os alunos a observaram as respostas uns dos outros. Conforme os alunos faziam as leituras das medições, a professora foi anotando as respostas numa ficha. Percebemos que todos os alunos que participaram dessa tarefa não acertaram as medidas, e que após terem conhecimento de que a régua estava quebrada, os mesmos atribuíram a dificuldade de fazer as medições a régua que estava quebrada. Então foi pedido para que refizessem a aferição novamente dos três objetos, porém com uma régua perfeita.
Analisando os resultados da segunda medição, constatamos que mesmo depois que a régua quebrada foi substituída pela régua perfeita, a maioria continuou apresentando dificuldades para manusear a régua e fazer a leitura. Essas dificuldades se deram a o fato de que alguns alunos ora começavam as medições a partir do início da régua, ora a partir do traço de 1 (um) cm e não do zero como é o correto.
Essa tarefa, teve o objetivo de estudar a grandeza comprimento, verificar se os alunos dominavam o uso da régua e se sabiam realizar a leitura da medida, operações fundamentais para a elaboração das plantas baixas. Essa tarefa se divide em duas questões. A questão 3A visou a medição da altura de três objetos: cubo mágico, porta lápis de formato cilíndrico e um cubo pequeno pertencente ao material dourado. Essa questão foi realizada em dois momentos. Num primeiro momento ofereceu-se aos alunos uma régua quebrada (os alunos não foram informados que a régua estava quebrada). No segundo momento, eles tomam conhecimento do fato da régua estar quebrada e repetiram o exercício com a régua perfeita.
Para verificar a apropriação desses conhecimentos, propomos a questão 3B que apresenta uma figura com três objetos posicionados sobre uma régua, e em seguida solicitamos aos alunos que fizessem registros das medidas desses objetos e ao final socializamos as respostas e sistematizamos o conteúdo proposto.
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Foi preciso a intervenção da professora para esclarecer que para efetuar uma medida é preciso que o zero da régua coincida com o começo do comprimento que se deseja medir. Ao final da tarefa 3A as respostas foram socializadas e houve esclarecimento sobre a grandeza comprimento, como sendo a diferença entre a leitura final e a leitura inicial
Os resultados da tarefa 3B demonstram uma melhor compreensão de medida para a primeira figura, pois está inicia a leitura na régua a partir do zero. Ao analisar as outras duas imagens observamos que alguns alunos insistiam em contar os tracinhos da régua e outros ainda faziam cálculos que envolviam números decimais de forma errada. Concluímos que existe uma incompreensão na ação de mensurar objetos que não iniciam do zero.
TAREFA 4 – Conceito de Área
A) Observe os dois objetos: um construído com lápis de cor e outro com papel sulfite.
Responda:
• As figuras têm a mesma forma?
• Descreva a diferença que você percebe nos dois objetos.
B) Você recebeu uma superfície, e 1 envelope contendo 5 tipos de figuras
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A tarefa 4A objetiva identificar a diferença que existe entre contorno e região interna de uma figura plana e mostrar que os conceitos de área e de perímetro correspondem a objetos geométricos distintos, a área sendo associada a superfície e o perímetro ao contorno. Para isto, utilizamos dois objetos improvisados, o primeiro constituído de papel sulfite no formato de um quadrado, e o segundo, constituído de quatro lápis de cores do mesmo tamanho unidos nas extremidades por uma fita crepe, nas mesmas dimensões e formato do primeiro objeto. A metodologia se deu por exposição desses materiais pela professora, para que pudessem responder aos seguintes questionamentos: a) As figuras têm a mesma forma? b) Descreva a diferença que você percebe nos dois objetos. As respostas eram verbalizadas pelos alunos e ao final sistematizada pela professora.
A tarefa 4B tem por objetivo determinar a área de uma superfície dada e levar o aluno a compreender que a medida da área depende da unidade de medida escolhida. Além de possibilitar, representar a grandeza área por um par (unidade de medida, número) de forma que ao alterar a unidade de medida, este número associado juntamente seja alterado. Para isto, procuramos trabalhar com unidades variadas: figuras planas de formato retangular, quadradas e triangulares, construídas em papel sulfite e coloridas com giz de cera. A metodologia adotada foi por meio de sobreposição de diferentes unidades de medidas para a superfície dada. As imagens abaixo apresenta a equivalência dessas unidades de medidas contidas no envelope e as quatro superfícies construídas em papel sulfite branco e distintas umas das outras
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Para o desenvolvimento deste exercício a turma foi dividida em 2 grupos de 4 alunos, e 2 grupos de 3 alunos e cada e
cada grupo recebeu um tipo de superfície. Em seguida, foi solicitado o registro das medidas de área utilizando como
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referência as 5 unidades de medidas contidas no envelope. A sistematização das respostas dos 4 grupos, foram expostas no quadro branco, conforme a tabela:
COMETÁRIO
Ao analisar o quadro, percebemos que os grupos não tiveram dificuldades em relacionar as unidades de medida de área nas cores: verde, vermelho e azul. Um dos motivos é de que essas unidades são quadriláteras, que possuem dimensões compatíveis de forma proposital à cobrir totalmente todas as superfícies e ainda são proporcionais entre si. As unidades nas cores amarelas e marrons, por se tratarem de triângulos, necessitavam de combinações para formar um quadrilátero equivalente aos das cores verde, vermelho ou azul. As unidades amarelas foram facilmente alocadas em duplas equivalendo a 1 unidade vermelha. Já as unidades nas cores marrons, não foi possível uma equivalência com apenas duas peças, o que levaram os alunos a respostas insatisfatórias, ou seja, não cobriram a superfície totalmente. Assim sendo, a unidade de medida marrom (triângulo) foi por eles considerada a mais difícil.
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Percebemos conforme a figura abaixo que da forma com que os grupos uniram duas peças marrons, formando um quadrilátero não compatível com as superfícies, que não se encaixavam por sobreposição.
TAREFA 5: Geometria plana- Área
Esta tarefa apresenta quatro exercícios, e o material para a resolução compõe-se de uma folha impressa, malha quadriculada, lápis preto e de cor. Os exercícios 1, 2 e 3 objetivaram a construção das seguintes figuras planas: retângulos, quadrados e triângulos retângulos não congruentes. Além de fazer com que os alunos percebessem que é necessário considerar a unidade de medida para a determinação da área da figura. Já exercício 4 objetivou a construção de dois paralelogramos não congruentes e aprofundar a compreensão de medidas de área por meio do processo da decomposição e composição pelo deslocamento das partes das figuras.
Para a realização desta tarefa os alunos foram dispostos em 4 grupos de 3 e 1 grupo de 4 alunos e cada grupo recebeu uma malha quadriculada a mais para o recorte do paralelogramo e desenvolver estratégias para responder os questionamentos propostos.
No primeiro exercício da tarefa 5, o item a), foi solicitado aos alunos que construíssem 4 retângulos na malha quadriculada, e que registrassem na tabela da folha tarefa: as medidas de suas larguras, as medidas de seus comprimentos e a quantidade de quadradinhos dentro de cada retângulo. A tabela a seguir apresenta uma síntese das respostas dos alunos.
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As colunas “Medidas dos lados” da tabela acima, mostram as formas como eles conduziram a construção dos retângulos.
No item b), foi questionado o que eles perceberam comparando os valores das duas colunas “Medidas dos Lados” e “Quantidade total de Quadradinhos”, onde os grupos relataram:
Grupo 1: “Que um lado é multiplicado pelo outro”
Grupo 2: “Multiplicando os lados”
Grupo 3: “Elas são multiplicadas” (referindo-se as colunas)
Grupo 4: “As multiplicações facilitam”
Grupo 5: “Que elas multiplicam”
Em seguida, perguntamos se eles eram capazes de escrever matematicamente o que observaram, por meio de uma fórmula, e como eles escreveriam esta fórmula. As respostas dos grupos foram:
Grupo 1: “x.y=z”.
Grupo 2: “lado x lado”.
Grupo 3: não respondeu.
Grupo 4: “11 x 15 = 165”.
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Percebemos que os grupos 3 e 4 tiveram dificuldades para apresentarem uma fórmula, e que o grupo 4 utilizou as medidas correspondentes aos lados do retângulo dessa tarefa.
Para esclarecermos essa dúvida, a cena a seguir apresenta a intervenção da professora utilizando na lousa branca o exemplo de um retângulo medindo 11 quadradinhos de comprimento e 3 de largura:
Professora: Quantos quadradinho tem aqui?
Estela: 3
Professora: E aqui?
Estela: 11
Professora: Qual o total de quadradinhos aqui dentro?
Laís: 33
Professora: Tem outra maneira de achar esse 33 sem contar de um a um?
Marcos: sim. Multiplica 3 X 11, daí dá 33.
Professora: Quem é esse 3?
Estela: Esse lado
Professora: vamos chamar esse lado de alguma coisa. Pensa aí.
Laís: lado 1
Professora: E esse 11?
Estela: É o outro lado.
Professora: Chama esse lado de outro nome.
Marcos: lado 2.
Pofessora: Então se 3 é o lado 1 e o 11 é o lado 2, e o 3x11=33, tira o número 3 e o 11 e coloca os nomes que você chamou.
Estela: Ah tá. Entendi. Lado 1x lado 2
Professora: Dá pra diminuir esse nome que você criou?
Estela: Como assim?
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Professora: Dá para ficar um nome menor, reduzido? Representar somente pelas iniciais da palavra.
Laís: Dá sim! Tipo L de lado. L1xL2.
Na sequência, no exercício 2, sugerimos aos alunos que, ao invés de construir retângulos construíssem quadrados, e que descrevessem uma fórmula para a área do quadrado. As respostas dos grupos foram semelhantes: “lado x lado”. Considerando o exposto, foi feito a institucionalização de que área de qualquer quadrado pode ser obtida calculando o quadrado da medida de seu lado.
No exercício 3 da tarefa 5, foi pedido aos alunos que construíssem 4 triângulos retângulos na malha quadriculada, e que registrassem na tabela da folha tarefa: as medidas de suas bases, as medidas de suas alturas, a quantidade de quadradinhos dentro de cada triângulo e a dedução da fórmula do triângulo retângulo.
Em geral os grupos não tiveram dificuldade para construir os triângulos retângulos, entretanto, os grupos 2 e 5 ao contar a quantidade de quadradinhos, utilizaram a técnica da compensação e assim perceberam a presença de um número decimal, levando o grupo a questionar a veracidade da questão e alterar as respostas da folha tarefa.
Ruan: “Olha aqui, tá errado”. 1, 2, 3, mais a metade desse com esse, dá mais 1 que é 4, essa metade aqui tá sobrando.
Laís: “Professora, pode sobrar a metade de um quadradinho?”
Professora: “sim”
Ruan: “Como faz então pra escrever?”
Laís: “É só colocar mais meio, daí fica 4,5”
O exercício 4 da tarefa 5, inicia um questionamento sobre a possibilidade de determinar a quantidade de quadradinhos que compõe um paralelogramo, em seguida desafia os alunos a transformar um paralelogramo em um retângulo, por meio do recorte em malha quadriculada. Dando continuidade, solicitamos o registro na tabela da folha resposta: Medida da base do paralelogramo, altura do paralelogramo, medida dos lados do retângulo formado e quantidade de quadradinhos do retângulo (área). E por fim, escrever uma fórmula que represente a área do paralelogramo.
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WHAT'S NEXT
Depois de pronto os paralelogramos, os alunos fizeram o recorte em um dos paralelogramos, e apresentaram as seguintes percepções:
Grupo1: “Que tira de um lado para colocar no outro”
Grupo 2 : “Quando cortamos uma parte e colocamos do outro lado forma um retângulo”
Grupo 3: “Basta apenas cortar uma ponta e juntá-la a outra ponta”
Grupo 4: “Cortei um lado e coloquei do outro”
Grupo 5: “Se eu cortar um pedaço no lugar certo forma um retângulo do outro, mas se eu cortar os dois pedaços formam dois retângulos”
Dentre essas percepções evidenciamos duas estratégias: uma delas, seria o recorte das duas extremidades do paralelogramo, e com estes dois pedaços, formar um outro retângulo com a mesma altura, e por fim, concluir que a área do paralelogramo seria a soma das áreas do retângulo formado com o retângulo restante do paralelogramo;
A segunda, é recortar uma das extremidades de um dos lados, realocando-a no outro lado sem espaço ocupado pela figura, formando um único retângulo, cuja área é o produto de sua base pela altura.
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WHAT'S NEXT
COMETÁRIO
Embora soubessem que a área de um triângulo era a metade da área de um retângulo, não souberam como representar a palavra “metade” usando símbolo matemático. Desta maneira foi necessária a intervenção da professora que utilizou na lousa branca a figura de um triângulo retângulo de base 4 e altura 3, demonstrando a dedução da fórmula como a metade da área de um retângulo, isto é, (base x altura) / 2.
Durante a resolução do exercício 4 foi possível verificar a facilidade com que todos iniciaram a construção do paralelogramo por duas linhas paralelas, seguidas de duas linhas inclinadas. Porém, ao preencher a tabela percebemos que muitos dos alunos confundiram a altura do paralelogramo com um dos lados inclinados do paralelogramo. Após fracionar uma figura e realizar a reconfiguração intermediária, os alunos dispuseram de estímulos visuais e puderam ter uma melhor percepção, como por exemplo, que por meio do paralelogramo foi possível formar um retângulo com apenas um único encaixe de peça.
Após fracionar uma figura e realizar a reconfiguração intermediária, foi possível ao aluno, reconfigurar o paralelogramo para chegar à forma de um retângulo e constatar que ambos possuem a mesma área.
TAREFA 6: Área e perímetro
Essa tarefa é uma adaptação da proposta inicial elaborada por alunos do PIBID de matemática, e objetiva trabalhar o cálculo sobre perímetro e área recorrendo à representação. Contempla, essencialmente, as noções de área e de perímetro, apelando à sua quantificação em figuras geométricas dadas e à construção de polígonos, atendendo as características geométricas enunciadas e obedecendo a valores de área e perímetro pré-definidos (exercícios 3 e 4). O material utilizado para a resolução dos problemas foi folha impressa composta de 4 exercícios, geoplano de madeira e elásticos coloridos.
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WHAT'S NEXT
O exercício 1 é constituído de 5 itens. O item (a) tem o objetivo de identificar áreas em figuras de diferentes formas por meio de contagem de unidades de medida de área. O item (b) a identificação de figuras que possuem formas diferentes com áreas iguais. O item (c), (d) e (e) comparação de áreas de figuras.
O Exercício 2 é composto de 2 itens: a) e b). Tem por objetivo estimular os alunos a determinar a área das figuras por diferentes estratégias: 1°) área como a metade da área do retângulo, ou seja, a utilização do princípio multiplicativo; 2°) decomposição da figura partida em outros dois triângulos menores para em seguida obterem a superfície da qual poderão determinar a área a partir da soma das áreas dos dois triângulos menores e 3°) área hachurada como a diferença entre área de um retângulo circunscrito e a área não hachurada.
O exercício 3 objetiva a construção de diferentes retângulos e levar o aluno a perceber que, diferentes retângulos, podem ter o mesmo perímetro e área diferentes.
O exercício 4 objetiva a construção de diferentes retângulos e levar o aluno a perceber que, diferentes retângulos, podem ter a mesma medida de área e perímetros diferentes
Participaram desta atividade 16 alunos, organizados em 8 duplas. A princípio os alunos foram orientados a explorar o material como quisessem, para poder familiarizar-se com o instrumento. Após este momento também foi retomado o conteúdo de grandezas e medidas, com ênfase ao perímetro e área. Em seguida, foi explicado como realizar a tarefa proposta em material impresso e registrar as soluções dos exercícios que apresentam diferentes objetivos. Passou-se então a aplicação da tarefa e seu desenvolvimento.
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COMETÁRIO
A tarefa teve boa aceitação e envolvimento por parte dos alunos. No exercício 1 os alunos não apresentaram dificuldades realizando de forma autônoma.
No exercício 2, onde solicitava a área de 5 triângulos e uma justificativa para as soluções, percebemos que para as figuras A e B, todos conseguiram determinar a área e que a estratégia utilizada por todas as duplas foi a área como a metade da área do retângulo, ou seja, o produto da base pela altura.
WHAT'S NEXT
Já nas figuras C, D e E, os alunos demonstraram dificuldades para fazer o enquadramento. E somente duas duplas resolveram as figuras D e E, mas com ressalvas. A primeira dupla, onde se escreve 8 deveria ser 12. A segunda dupla, ao invés de escrever 2,5, escreveu 3,5.
As respostas das duplas não foram as esperadas. Acreditamos que tal fato aconteceu por falta de atenção. Pois, estas duas duplas demostraram capacidades para fazer uso sistemático do algoritmo.
Para concluir estas explanações a professora efetuou esses dois cálculos na lousa e fez a sistematização do exercício, dizendo que os alunos deveriam observar bem a decomposição, efetuar os cálculos das medidas de áreas das subfiguras e subtraí-las do enquadramento do formato retangular para chegar à medida da área da figura inicial.
Durante o desenvolvimento do exercício 3, os alunos apresentaram algumas dificuldades. A primeira foi identificada já na exposição do exercício e diz respeito a confusão entre as grandezas perímetro e área, quando questionaram se perímetro era o que estava dentro ou fora. A partir desse questionamento foi necessário fazer uma rápida explanação na lousa branca sobre a distinção entre perímetro e área, e para isso, a professora utilizou como exemplo um retângulo de 3cm de comprimento e 2cm de largura, determinando seu perímetro e sua área.
A segunda, diz respeito a construção de dois retângulos, em posições diferentes, mas com as mesmas medidas, levando os alunos a acreditarem que eram retângulos distintos.