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L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si scelgano poligoni iscritti o circoscritti nella circonferenza, la sua area risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al limite dell'area del cerchio.
Archimede è il padre del π, e scoprendo questo numero scoprì anche che il problema è irrisolvibile!
Ma andiamo per gradi.
Ai tempi di Archimede era noto che il perimetro della circonferenza misura poco più di 3 e molto meno di 4 diametri.
Immaginatevi un quadrato e una circonferenza inscritta... il perimetro del quadrato è pari a 4 volte il diametro della circonferenza. Quindi il perimetro della circonferenza è inferiore al perimetro del quadrato, e quindi a 4 volte il diametro.
Archimede andò per gradi per cercare di trovare la formula per determinare indirettamente la misura della circonferenza e da bravo ingegnere iniziò a usare la geometria.
Iniziò a scrivere un esagono dentro e un esagono fuori da una circonferenza. Pensate all’esagono scritto dentro: il suo lato è lungo come il raggio della circonferenza, quindi il perimetro dell’esagono è 6 volte il raggio, quindi 3 volte il diametro. Allora la circonferenza è effettivamente un po’ più lunga di 3 diametri.
Archimede andò avanti così, disegnando dentro e fuori la circonferenza dei poligoni regolari con un numero sempre maggiore di lati per trovare la misura della lunghezza della circonferenza… finchè non disegnò dei poligoni di 24 lati e scoprì che i perimetri avevano la stessa cifra dopo la virgola: 3,132… e 3,159… Quindi scoprì che 1 è la prima cifra dopo la virgola
Continuò fino a disegnare poligoni di 48 lati e ottenendo: 3,13 e 3,14 e poi di 96 lati: a quel punto il perimetro interno misurava 3,140 e quello esterno 3,142 … i cosiddetti numeri guardiani, quindi è 4 la seconda cifra dopo la virgola!
π =3,14…
Quindi 3,14 è il rapporto tra circonferenza e diametro… allora per trovare il perimetro di una circonferenza basta moltiplicare il suo diametro per 3,14!
Quindi Archimede ha “quadrato il cerchio”? no! Perché π è un numero irrazionale che ha infinite cifre dopo la virgola e quindi abbiamo sempre una approssimazione del valore preciso.