Interpolación

Introducción

La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación.

En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie de puntos x1, x2, · · · , xN , pero no se conoce una expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor de la función para un punto arbitrario. Un ejemplo claro son las mediciones de laboratorio, donde se mide cada minuto un valor, pero se requiere el valor en otro punto que no ha sido medido. Otro ejemplo son mediciones de temperatura en la superficie de la Tierra, que se realizan en equipos o estaciones meteorológicas y se necesita calcular la temperatura en un punto cercano, pero distinto al punto de medida.

Obtenemos la función de interpolación lineal:

Interpolando   x = 20   obtenemos:

Aplicamos el método de reducción con la primera y segunda ecuación, y con la segunda y tercera ecuación:

Resolvemos el sistema que nos queda:

Aplicamos reducción multiplicando la primera ecuación por 3:

Despejamos b de la primera ecuación del sistema y sustituimos por valor de a:

4a - b = 2     ⇔     b = 4a - 2 = 4(14/15) - 2     &⇔     b = 26/15

Despejamos c de la segunda ecuación del sistema de ecuaciones original, y sustituimos por los valores hallados:

Luego la función de interpolación es:

Interpolando x = -2 obtenemos:

Interpolación de Newton

Algoritmo utilizado para la solución del problema por el método de Interpolación de Newton.

Interpolación de Lagrange

Algoritmo utilizado para la solución del problema por el método de Interpolación de Lagrange.

Interpolación Inversa

Algoritmo utilizado para la solución del problema por el método de Interpolación Inversa.

INTERPOLACIÓN DE NEWTON

Se obtiene matriz cuadrada con los datos entre los que se desea trabajar el caudal

Matriz inversa de la original

Matriz de resultados

Tabla de datos

Obtenidos al multiplicar la matriz inversa por la matriz de resultados

Coeficientes del polinomio de orden 1

Polinomio de orden 1 obtenido de la Interpolación

Al ser evaluado en 1000 l/h, del polinomio se obtuvieron 374.2w, lo que nos indica que la bomba si será capaz de impulsar el caudal de tremetina hasta el tanque de almacenamiento sin trabajar al máximo de 376w

Se obtiene matriz cuadrada con los datos entre los que se desea trabajar el caudal

Matriz inversa de la original

Obtenidos al multiplicar la matriz inversa por la matriz de resultados

Coeficientes del polinomio de orden 3

Polinomio de orden 3 obtenido de la Interpolación

Al ser evaluado en 1000 l/h, del polinomio se obtuvieron 375.42w, lo que nos indica que la bomba si será capaz de impulsar el caudal de tremetina hasta el tanque de almacenamiento sin trabajar al máximo de 376w

INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Datos tomados para la interpolación de Lagrange

Q(l/h) N(w)

700 361.6

900 370.64

1100 379.68

1000 376

Q(l/h) N(w)

500 365

700 361.6

900 370.64

1100 379.68

1300 384.46

1500 395.5

1700 395.95

1900 397

Fórmula de Lagrange

Siguiendo la fórmula, se genera el polinomio, con los datos extraídos de la tabla.

(x-700) (x-900) 379.68

400 200

(x-900) (x-1100) 361.6

-200 -400

(x-700) (x-1100) 370.64

200 -200

Tercer término

Segundo término

Primer término

f(1000)= 100 -100 361.6 + 300 -100 370.64 + 300 100 379.68

80000 -40000 80000

Se evalua cada término en el caudal al que se quiere trabajar

VALOR 375.16

ERROR 0.84

E% 0.22%

Se obtuvo un trabajo menor a 376w, por lo que la bomba será capaz de impulsar el caudal

INTERPOLACIÓN INVERSA

Q(l/h) N(w)

900 370.64

1100 379.68

1300 384.46

1 en primera columna

Datos de Q(l/h) al cuadrado

1000 376

Q(l/h) N(w)

500 365

700 361.6

900 370.64

1100 379.68

1300 384.46

1500 395.5

1700 395.95

1900 397

Matriz de resultados

Datos de Q(l/h)

Datos extraidos y dato al que se busca eifciencia de trabajo.

Matriz inversa

Coeficientes del polinomio, obtenidos al multiplicar la matriz inversa por la matriz de resultados.

Polinomio de orden 2 obtenido de la Interpolación

f(Q)= 276

Se busca el caudal al que se pueda tener un trabajo máximo de 276w, como es indicado en el método de Interpolación inversa.

Para determinar el caudal Q correspondiente a f(Q) = 276 es equivalente a calcular las raíces de:

x1= -1432.731939

x2= 1432.428539

Este valor nos da el caudal máximo para un trabajo N (w) máximo de 376w

COMPARACIÓN

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Al soluciónar el problema por el método de mínimos cuadrados, y comparando con el método de Newton (polinomio de orden 1), la ecuación que ajusta la dispersión de los datos en este método, no es la misma que con la interpolación, y al realizar la sustitución nos da un trabajo (w) diferente que impulsaría al caudal. La diferencia entre uno y otro es que el método de Newton ajusta sólo dos puntos del total de puntos en la dispersión, mientras que el método de mínimos ajusta a toda la dispersión de datos contenida en la tabla, siendo por eso, un método más exacto que el de Interpolación de Newton.

Ecuación obtenida del método de Interpolación de Newton.

Ecuación obtenida del método de mínimos cuadrados.

-Bautista Morales Scarlet Anelis

El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla. Si se aumenta el número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación de una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4.

La interpolación es un método científico y lógico en la vida real en donde se determina cada una de las variables en donde se considera todas las situaciones posibles y en que se puede repercutir y las interpolamos a la nueva situación por analogía o inducción.

-Cuapio Ocomatl Erick

Aplicando Interpolación con los diferentes métodos: Newton, Lagrange, Inversa. Se logró dar solución y explicación a un problema de aplicación en la vida real. Ejemplos y el ejercicio de los métodos propuestos nos llevaron a concluir que (en el caso del problema) se logra hacer una estimación de la eficacia de un sistema al trabajo que realiza mientras está retrasado o fallando. Considerando diversos puntos en la dispersión que se tiene, se da la facilidad de escoger la mejor aproximación (orden del polinomio) que lleva a la solución de los problemas de aplicación con las variantes de los métodos de Interpolación.