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Vitória
Introdução
II Quadrilátero Notáis - def
Trapézio
Tipos de trapézios
Propriedades
Paralelogramo
Retângulo
Losango
Quadrado
1/2
Embasamento
Quadrilátero
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares.
Os segmentos AB, BC, CD e DA intercepram-se apenas nas extremidades, a união desses quatro segmentos chamamos de quadrilátero.
ABCD Convexo ABCD Côncavo
1/5
Embasamento
Elementos de Um Quadrilátero
Onde:
Quadrilátero: ABCD = AB U BC U CD U DA
Lados: AB, BC, CD, DA.
Ângulos: .
2/5
Embasamento
Quadrilátero
Soma dos ângulos interno de um quadrilátero.
->
3/5
Embasamento
N° de Diagonais de um Quadrilátero
São apenas 2.
AC e BD são diagonais
Note:
AC = CA , BD = DB
É mesmo segmento portanto contamos apenas 1 vez.
4/5
Embasamento
Resolva
Calcule x.
5/5
Trapézio
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.
Onde:
ABCD é trapézio
Os lados paralelos são as bases do trapézio.
1/9
Trapézio
Classificação
Sua classificação ocorre de acordo com os lados não bases, portanto temos:
Trapézio Isósceles
Trapézio Escaleno
2/9
Trapézio
Classificação
Trapézio Retângulo
3/9
Trapézio
Propriedades dos trapézios qualquer
Em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de bases AB e CD temos:
Onde:
A + D = B + C = 180°
4/9
Trapézio
Propriedades dos trapézios Isósceles
O ângulo de cada base de são congruentes.
Onde:
Como A e B são suplementares de D e C respectivamente, temos: A B
Por congruencia de AA'D e BB'C são congruentes.
Portanto:
As projeções ortogonais dos lados não bases de um trapézio isósceles, sobre a base maior, são congruentes
5/9
Trapézio
Propriedades dos trapézios Isósceles
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Onde:
6/9
Trapézio
Resolva
Calcule :
7/9
Trapézio
Base Média
Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, então:
1° Ele é paralelo às bases;
2° Ele é igual à semissoma das bases.
8/9
Trapézio
Exercícios
Resolva
9/9
Paralelogramo
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.
ABCD é paralelogramo <->
1/8
Paralelogramo
Propriedades
1° Ângulos opostos congruentes
Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.
Portanto:
ABCD ->
2/8
Paralelogramo
Propriedades
2° Ângulos opostos congruentes
Todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é paralelogramo.
Por consequência temos:
Todo retângulo é paralelogramo.
3/8
Paralelogramo
Propriedades
1° Lados opostos congruentes
Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes
4/8
Paralelogramo
Propriedades
2° Lados opostos congruentes
Todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo.
Por LLL
Por consequência:
Todo losango é paralelogramo.
5/8
Paralelogramo
Diagonais dividem-se ao meio
Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
Por LLL
Por consequência:
Todo losango é paralelogramo.
6/8
Paralelogramo
Dois lados paralelos e congruentes
Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo.
por LAL
Por consequência
Se dois segmentos de retas são paralelos e congruentes, então suas extremidades são vértices de um paralelogramo.
7/8
Paralelogramo
Exercicíos
Resolva
8/8
Retângulo
Definições
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulo congruentes.
ABCD é retângulo <->
1/4
Retângulo
Propriedade
Diagonais Congruente
Além das propriedade do paralelogramo, o retângulo tem a propriedade característica que segue.
1° Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
ABCD é retângulo -> ABCD é paralelogramo
comum
Por LAL ->
2/4
Retângulo
Propriedade
Diagonais Congruente
Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
3/4
Retângulo
Exercícios
Resolva
4/4
Losango
Definições
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.
ABCD é losango <->
1/4
Losango
Diagonais Perpendiculares
Além das propriedade do paralelogramo, o losango tem a propriedade característica que segue.
1° Todo losango tem diagonais perpendiculares.
ABCD é losango ->
Pelo caso LLL , temos:
2/4
Losango
Diagonais Perpendiculares
1° Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.
ABCD é losango
3/4
Losango
Exercícios
Resolva:
4/4
Quadrado
Definições
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulo congruentes e os quatro lados congruentes.
ABCD é quadrado <->
1/3
Quadrado
Diagonais e Perpendiculares
Todo quadrado é retângulo e também é losango.
1° Todo losango tem diagonais perpendiculares.
ABCD é quadrado <-> ABCD é paralelogramo,
2/3
Quadrado
Exercícios
Resolva:
3/3