G9相似

下の図で，四角形 A′B′C′D′は四角形 ABCD を

点 O を中心に 2 倍に拡大した図である。

1) AD=1cm ならば線分 A′D′は何 cm ですか。

2) ∠A=93°ならば∠A′は何度ですか。

3) OB=3cm ならば線分 OB′は何 cm ですか。

2cm

Topic

1cm

93°

❶

❷

3cm

6cm

右の図で，五角形 ABCDE∽FGHIJ である。

次の問いに答えなさい。

1)五角形 ABCDE と五角形 FGHIJ の相似比を求めなさい。

2) 辺 IJ の長さを求めなさい。

3)∠GHI の大きさを求めなさい。

16cm

5:4=20:IJ

120°

Topic

16cm

120°

❺

❹

●

❹

❺

【三角形の合同条件】

①　 3 組の辺がそれぞれ等しい

　　（ 3 辺相等）

②　 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

　　（ 2 辺夾角相等）

③　 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

　　（ 1 辺両端角相等）

Topic

【三角形の相似条件】

①　 3 組の辺の比がすべて等しい

　　（ 3 辺比相等）

②　 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

　　（ 2 辺比夾角相等）

③　 2 組の角がそれぞれ等しい

　　（ 2 角相等）

【三角形の相似条件】

①　 3 組の辺の比がすべて等しい

　　（ 3 辺比相等）

②　 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

　　（ 2 辺比夾角相等）

③　 2 組の角がそれぞれ等しい

　　（ 2 角相等）

80°

①

❶

①

❶

❷

❶

②

60°

②

Topic

❷

(ア)と(カ)

3 組の辺の比がすべて等しい

(ウ)と(オ)

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

(イ)と(エ)

2 組の角がそれぞれ等しい

対応順に書きましょう。

●

△ABC∽△AED

△ABC∽△ADE

Topic

2 組の角がそれぞれ等しい

❷

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

①

●

❸

②

❶

●

Topic

△AEB∽△DEC

❷

③

2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

△BAD∽△CAB

ア）∠BCO

イ）∠BOC

ウ）２組の角

〔問い〕　AO=8cm，BO=10cm，CO=6cm のとき，

線分 DO の長さを求めなさい。

Topic

8:10=DO:6

●

10×DO=48

×

DO=4.8

●

4.8 cm

∠ACD

90 × ●

△DAC

△DBA

1)∠BAD と等しい角はどれですか。

2) △ABC と相似な三角形はどれですか。

3)線分 AD，BD の長さを求めなさい。

●+×=90°

△ABC∽△DBA∽△DAC

12:AD=❺:❸

③

Topic

×

●

④

❺

❸

　=——

　 AD=12×——

3

5

36

5

×

●

❹

12:AD=❺:❹

　 AD=12×——

＝——

⑤

4

5

48

5

1) △ABD と相似な三角形はどれですか。

△ABD∽△CAD∽△CBA∽△CFE

2) 線分 AB，AE の長さをそれぞれ求めなさい。

●+×=90°

❺

Topic

×

●

❺

❸

④

❹

③

×

●

❸

❹

⑤

AD:AB=❹:❺

AE=AC-CE

AD:AC=❸:❺

　 AB=12×——

5

4

　 AC=12×——

＝20

5

3

　= 15(cm)

AE=20-4

=16(cm)

ア）1:3

イ）∠BOD

Topic

[問い]

AO=6cm，CO=5cm のとき，BO の長さを求めなさい。

❸

①

15cm

6cm

AO:BO=1:3なので

●

BO=6×3=18

5cm

18cm

❶

③

18cm

平行線と線分の比

Topic

ピラミッド型

砂時計型

4

2

6

3

2

1

ピラミッド型

砂時計型

Topic

y : 12 = 4 : 8

5 : x = 4 : 8

5 : x = 1 : 2

y : 12 = 1 : 2

x = 10

y = 6

砂時計型

ピラミッド型

Topic

x : 4 = 6 : 3

x : 4 = 2 : 1

x = 8

平行線と線分の比

Topic

図 2 のように，ℓ を左に移動して三角形を作ると，相似な三角形ができます。

　6 : 9 = 4 : x

6x = 36

x = 6

Topic

12 : x = 10 : 15

12 : x = 2 : 3

2x = 36

x = 18

Topic

9 : x = 8 : 12

9 : x = 2 : 3

2x = 27

x=——(13.5)

27

2

Topic

2 : 4 = 3 : x

2 : 4 = y : 7

4y = 14

2x = 12

y = 3.5

x = 6

＞

≫

12cm

≫

6cm

G

＞

ycm

6cm

Topic

＞

H

9cm

8 : 12 = y : 9

x = y+6

2 : 3 = y : 9

x = 12

3y = 18

y = 6

3) DF:DC=FO:CB

砂時計型

∨

3:8=FO:10(cm)

❸

③

⑧

OF= ———＝——

　30　　 15

8　 4

∨

❸

＝

⑤

❺

EF=EO+OF＝——+——

　 15 15

4　 4

❺

Topic

∨

❽

＝——

　 15

2

1) ———＝——

ピラミッド型

　３　　 ３

３＋５　 8

2) AE:AB=EO:BC

３:8=EO:10(cm)

EO= ———＝——

　30　　 15

8　 4

　2 : 3

1)BE：EC を求めなさい。

2)線分 EF の長さを求めなさい。

砂時計型

❺

❸

❺

②

∨

Topic

③

❷

∨

❷

ピラミッド型

2 : 5 = EF : 9(cm)

EF=—— (cm)

18

5

公式

＞

b

a

＞

x

Topic

ab

積

x = ———　—

a+b

和

積

bx

a = ———　—

差

b-x

線分系 超速解法奥義

角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に分ける

E

a

a:b=d:e

●

＝

A

●

＞

2

4

Topic

a

＝

b

＞

f

●

e

d

B

D

C

1

2

2

f =ab−de

スチュワートの定理

f

角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に分ける

②

③

Topic

❷

❸

2 : 3 = 6 : x

x = 9

角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に分ける

3 : 2 = 12 : x

③

❸

x = 8

Topic

❷

②

角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に分ける

❸

❹

③

Topic

④

7 : 4 = 12 : x

x = ——

48

7

△ABC の 2 辺 AB，AC の中点を M，N とし，M と N を結びます。

すると，AM：AB=AN：AC=1：2

∠A が共通なので，

△AMN∽△ABC　（ 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい）

よって，MN // BC，MN：BC=1：2　が成り立ちます。

中点連結定理

●

①

Topic

❶

②

AB，AC の中点を M，N

❷

＞

❶

MN // BC

MN：BC=1：2

＞

❷

右の図のような四角形 ABCD がある。

各辺の中点を E，F，G，H とするとき，次の問いに答えなさい。

1)四角形 EFGH の 4 辺の長さの和と，

四角形 ABCD の対角線 BD，AC の長さの和との間には，

どんな関係がありますか。

中点連結定理より

Topic

EH+FG=BD

①

HG+EF=AC

②

EH+HG+FG+EF　=BD+AC

①

等しい

右の図のような四角形 ABCD がある。

各辺の中点を E，F，G，H とするとき，次の問いに答えなさい。

2) 四角形 EFGH はどんな四角形ですか。

中点連結定理より

EH//BD,FG//BD

HG//AC,EF//AC

よって

Topic

EH//FG

HG//EF

①

＞

≫

①

≫

2組の対辺が

それぞれ平行なので

②

＞

②

≫

＞

①

平行四辺形

右の図のような四角形 ABCD がある。

各辺の中点を E，F，G，H とするとき，次の問いに答えなさい。

3)四角形 EFGH が長方形になるのは，四角形 ABCD の

対角線 AC，BD の間にどのような関係があるときですか。

４つの角がすべて等しい四角形は長方形

①

Topic

＞

そのためには

≫

①

≫

②

AC⊥BD

＞

②

≫

＞

①

であればよい

右の図のような四角形 ABCD がある。

各辺の中点を E，F，G，H とするとき，次の問いに答えなさい。

4)AC=BD のとき，四角形 EFGH はどんな四角形ですか。

AC=BDのとき

①

Topic

＞

≫

①

４つの辺がすべて等しい四角形になるので

≫

②

＞

②

≫

＞

①

ひし形

①

右の図の四角形 ABCD において，AB=DC である。AD，BD，

BC の中点をそれぞれ M，P，N とするとき，次の問いに答えなさい。

1)線分 MP と線分 AB の長さの関係を式で表しなさい。

中点連結定理より

①

2MP=AB

②

Topic

MP=—AB

1

2

右の図の四角形 ABCD において，AB=DC である。AD，BD，

BC の中点をそれぞれ M，P，N とするとき，次の問いに答えなさい。

2)MPN はどんな三角形ですか。

AB=CDなので

①

MP=PN

②

Topic

②

①

二等辺三角形

右の図の四角形 ABCD において，AB=DC である。AD，BD，

BC の中点をそれぞれ M，P，N とするとき，次の問いに答えなさい。

∠ABD=15°，∠BDC=75°のとき，∠MPN の大きさを求めなさい。

∠MPN

Topic

×

75°

＞

＝15°+105°

●

15°

＞

≫

15°

●

◇

105°

＝120°

×

75°

≫

AM=MB，AN=NC=CD である。

BC=18cm として，線分 CEの長さを求めなさい。

＞

Topic

9cm

＞

4.5cm

右の図は，AD // BC の台形である。辺 AB の中点を M とし，M を通り BC に平行な直線と DC との交点を N とする。対角線 AC と MN との交点を P とするとき，次の問いに答えなさい。

1)BC=10cm のとき，線分 MP の長さを求めなさい。

＞

Topic

＞

5cm

＞

10cm

2)AD=8cm のとき，線分 NP の長さを求めなさい。

8cm

＞

4cm

Topic

＞

5cm

＞

10cm

3)AD=a，BC=b とするとき，

線分 MN の長さを a，b を使って表しなさい。

a

— + —

a b

2 2

MN=

＞

—

a

2

Topic

a+b

2

=——

Q

＞

— - —

PQ=

b a

2 2

b-a

2

=——

—

b

2

＞

b

△ABC で，中線 CD，AE の交点を G とする。

D から辺 BC に平行な直線をひき，AE との交点を

F とする。次の比を最も簡単な整数で表しなさい。

1)DF：BE

中線

三角形の頂点とその対辺の中点とを結ぶ線分

1:2

Topic

＞

❶

＞

❷

2)FG：GE

重心

中線

G

1:2

Topic

❶

＞

❶

❷

＞

❷

3)AF：FG

3:1

❸

Topic

＞

❶

❷

＞

Topic

15

三角形の頂点と、その対辺の中点を結ぶ3つの線は1点で交わり、重心という。

重心は各中線を2：1に内分する

重心

中線

Topic

G

右の図で，点G は△ABC の重心である。次の問いに答えなさい。1)CG=8cm のとき，線分 GN の長さを求めなさい。

Topic

4 cm

8 cm

右の図で，点G は△ABC の重心である。次の問いに答えなさい。

2)AL=12cm のとき，線分 AG の長さを求めなさい。

12 × —

2

3

8 cm

Topic

12 cm

右の図で，点G は△ABC の重心である。次の問いに答えなさい。

3)△AGC と△LGC の面積の比を求めなさい。

2:1

Topic

右の図の平行四辺形 ABCD において，辺 AD の中点を M とし，

AC と BM の交点を N とするとき，次の問いに答えなさい。1)AN：NC を求めなさい。

❶

Topic

❶

❷

1:2

❷

右の図の平行四辺形 ABCD において，辺 AD の中点を M とし，

AC と BM の交点を N とするとき，次の問いに答えなさい。

2)AMN の面積は平行四辺形 ABCD の何倍ですか。

＝平行四辺形 ABCD

△AMN

❷

❶

Topic

×—×—×—

1 1 1

2 2 3

❶

❷

=——

1

12

❷

右の図の平行四辺形 ABCD において，辺 AD の中点を M とし，

AC と BM の交点を N とするとき，次の問いに答えなさい。3)△AMN と四角形 MNCD の面積比を求めなさい。

△AMN

❷

×—×—

＝△ACD

1 1

2 3

❶

Topic

①

×——

＝△ACD

1

6

❶

⑤

四角形 MNCD

❷

×(1 - — )

＝△ACD

1

6

×——

＝△ACD

5

6

❷

1:5

重要

b

a

3

b

2

a

:

b

2

:

3

a

:

b

相似比

Topic

2

a

:

b

4π

4π

4

:

9

a

:

b

面積比

3

:

a

b

8

:

27

体積比

a

:

b

——

4π

3

右の図のような三角形 ABC があり，点 D，E はそれぞれ辺 AB，BC 上にある。

AC//DE のとき，次の問いに答えなさい。

1)△ABC と△DBE の周の長さの比を求めなさい。

△ABC∽△DBE

:

3

相似比

5

Topic

＞

● × ×

5:3

❷

❸

❺

右の図のような三角形 ABC があり，点 D，E はそれぞれ辺 AB，BC 上にある。

AC//DE のとき，次の問いに答えなさい。

2)△ABC と△DBE の面積比を求めなさい。

△ABC∽△DBE

:

3

5

相似比

Topic

:

9

25

面積比

❸

❷

25 : 9

❺

右の図のような三角形 ABC があり，点 D，E はそれぞれ辺 AB，BC 上にある。

AC//DE のとき，次の問いに答えなさい。

3)△ABCの面積が150c㎡のとき，四角形 ADEC の面積を求めなさい。

:

3

5

相似比

㉕

:

9

25

面積比

Topic

⑯

150:x=25:16

⑨

x=150×16÷25

❸

❷

=6×16=96

❺

96c㎡

右の図のような正四角錐 A-BCDE がある。辺 AB，AC，AD，AE を 2：1 に分ける点をそれぞれ F，G，H，I とし，この 4 点を通る平面で正四角錐 A-BCDE を 2 つに切った。

次の問いに答えなさい。

1)もとの正四角錐 A-BCDE と点 A を含むほうの立体の体積比を求めなさい。

:

相似比

2

3

Topic

③

②

:

27

体積比

8

⑧

①

㉗

27:8

3

もとの正四角錐 A-BCDE の体積が135cm のとき，

点 B を含むほうの立体の体積を求めなさい。

㉗-⑧=⑲

135:x=27:19

x=135×19÷27

Topic

③

②

⑧

=5×19=95

①

3

⑲

95cm

㉗

3

135cm