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Secciones Conicas; Hiperbola y Parabola
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Secciones Conicas
Introducion
¿Que son?
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Tipos de Conicas
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Tipos
La historia de las Conicas
Su historia
Johannes Kepler (1570-1630)
Menecmo (350 A.C.)
René Descartes (1596-1650)
Apolonio (262-190 A.C.)
Isaac Newton (1642-1727)
Jan de Witt (1629-1672)
Menecmo
Menecmo (ca. 380 - ca. 320 a. C.1) fue un matemático y geómetra griego. Su papel en la investigacion de las conicas refiere a que este fue el que descubrió estas curvas
Menecmo
Apolonio de Perge
Apolonio
El matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) fue el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.
René Descartes
En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.
Descartes
Johan de Witt
de Witt
El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672).
Johannes Kepler
El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos
Kepler
Newton
Isaac Newton
Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.
La hiperbola
Hiperbola
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Elementos
Los elementos de la Hiperbola
- Vertice
- Foco
- Centro
- Tangente
- Radio
- Curvatura
- Areas
Ecuaciones y Propiedades
Ecuaciones y Propiedades
La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.
Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.
Parabola
En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1 resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.
Parabola
Elementos
Elementos:
Directriz
La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco Focal
El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vertice
Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.
Lado Recto
Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parabola(A,B).
Parámetro
La distancia entre el vertice y la directriz que es la misma denter el vertice y el focode una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).
Grafico de los Elementos Representados:
Ecuaciones
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:
Ecuaciones
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y, vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:
Ecuacion 1
Ecuacion 2
Ejemplos Cotidianos
Ejemplos cotidianos
Las conicas se encuentran presentes constantemente en nuestra vida cotidiana, a continuacion podemos encontrar algunos ejemplos de hiperbolas y parabolas
Parabola
Ejemplos cotidianos de parabolas
- Puentes colgantes:
Los cables de puentes colgantes adoptan la forma parabólica. Estos forman la envolvente de una parábola.
- Deportes:
En todo deporte en el que se haga un lanzamiento, encontramos parábolas. Estas pueden ser descritas por pelotas o por artefactos lanzados como en el fútbol, baloncesto o lanzamiento de jabalinas.
- Iluminación:
Cuando un haz luminoso con forma cónica es proyectado sobre una pared, se obtienen formas parabólicas, siempre y cuando la pared sea paralela a la generatriz del cono.
Hiperbola
Ejemplos Cotidianos de Hiperbola
- Lentes y monitores:
Los objetos diseñados para su uso con los ojos usan mucho las hipérbolas. Estos objetos incluyen microscopios, telescopios y televisiones.
- Radio:
Las señales de los sistemas de radio emplean funciones hiperbólicas. Un sistema de radio importante, LORAN, identifica posiciones geográficas usando hipérbolas.
- Satélites:
Los sistemas de satélites pueden hacer mucho uso de las hipérbolas y las funciones hiperbólicas. Cuando los científicos lanzan un satélite al espacio, primero deben usar ecuaciones matemáticas para predecir su camino.
Usando las hipérbolas, los astrónomos pueden predecir el camino del satélite para hacer ajustes de forma que el satélite llegue a su camino.