Заполнение плоскости математическими фигурами

Проблема

План

Как компактнее заполнить плоскость математическими фигурами?

Гипотеза

План

Я предполагаю,что компактнее всего можно заполнить плоскость правильными многоугольниками.

Цель

-Узнать какие фигуры компактнее заполняют плоскость.

Задачи

План

1. Выяснить какие фигуры подходят для заполнения плоскти наибольше всего

2. Исследовать фигуры самые подходящие для заполенения плоскости

Подходящие фигуры

-Трехугольник

-Четырехугольники

-Шестиугольники

Фигуры

Способ замощения, при котором используются квадратные плитки, называют

правильным плоским замощением, то есть покрытием плоскости без промежутков

с использованием одного вида правильного многоугольника.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, все стороны

и внутренние углы которого равны. Равносторонний треугольник, квадрат, правиль¬

ные пятиугольник и шестиугольник — это правильные многоугольники с 3, 4, 5 и 6

сторонами, внутренние углы которых равны 60°, 90°, 108° и 120° соответственно.

Когда говорят, что многоугольник выпуклый, это означает, что каждый из его вну¬

тренних углов не больше 180°. У пятиконечной звезды, например, могут быть равны

все стороны и углы, но она является не выпуклым многоугольником, а вогнутым.

По мере увеличения числа сторон форма правильного многоугольника все больше

приближается к кругу — предельной форме правильного многоугольника.

Изучение

Говорят, что замощение плоскости правильное, если в вершинах сходится всего

да одно и то же количество правильных многоугольников одного и того же вида.

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяют "паркеты" (мозаики).Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами, которые не перекрывают дру друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками.

Тетрадный лист в клеточку представляетс собой

простейший паркет. Элемнтом паркета здесь является квадрат.

Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник.

Изучение

Примеры

Пример

Правильные многоугольники в природе

Почему пчелы "выбрали" себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?

Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья воск для изготовления ячеек.

Причем пчелиные соты представляют собой не плоский,а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.

Изучение

Паркет Эшера

Обратимся к частным примерам из графического наследия голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера(1898-1972).

Этот художник ощепризнанно считается первооткрывателем многих типов цветной симметрии. Он оставил после себя большое творческое наследие - более 450 гравюр, а также учебное пособие "Правильное деление на плоскости"

Можно воспользоваться способом построения паркетов, дающим рисунки, подоные "лебедям" М.Эшера. Нужно начать с простой фигуры , например, с шестиугольника, вырезать кусочек с одной стороны и затем добавить его с другой. Повторить эту операцию несколько раз. Чуть-чуть вооброжения и наша фигура превратится в профиль злой волшебницы Бастинды!

Изучение

20%

1-да

2-нет

80%

10%

1-для упрощения

работы

2-не нужна

3-для скорости

60%

30%

5%

25%

70%

1-внешний вид

2-долголетие

3-преимуществ нет

10%

1-да

2-нет

90%

Где встречаются правильные многоугольники в жизни?

Пример