Теорія самоорганізованої критичності та теорія катастроф як парадигма дослідження кризових явищ та напрямки їх застосування до дослідження критичних та кризових явищ в системах різної фізичної природи

У рамках першої показано, що в багатьох відкритих нелінійних системах далеко від рівноваги відбувається самоорганізація. При цьому виникають просторово-неоднорідні стаціонарні розподіли змінних — так звані дисипативні структури або автохвильові процеси.

Друга парадиґма пов'язана з поняттям динамічного хаосу — складною неперіодичною поведінкою у детермінованих системах (тобто в таких, де діє принцип причинности й немає випадкових чинників). Основним результатом цього підходу було встановлення наявності границь передбачуваності, горизонту проґнозу — скінченого часу, за який динамічний проґноз поведінки системи стає неможливим. Описані універсальні сценарії переходу від простого руху до хаотичного за зміни зовнішнього параметра.

Стабільна і нестабільна частини екстремуму, зникає при біфуркації типу «складка»

V = x3 + ax

При негативних значеннях параметра a, потенційна функція має два екстремуми - один стабільний (стійка рівновага) і один нестабільний (нестійка рівновага). Якщо параметр a повільно змінюється, система може перебувати в точці стабільного мінімуму. Але якщо a = 0, стабільні і нестабільний екстремуми зустрічаються і анігілюють. Це - точка біфуркації. При a> 0 не існує стабільного рішення.

Якщо фізична система проходить через точку біфуркації типу «згортка», і тому параметр a досягає значення 0, стабільність рішення при a <0 раптово втрачається, і система може здійснити раптовий перехід в нове, дуже відмінне від попереднього стан. Це біфуркаційних значення параметра a іноді називається «точкою фіксації».

V = x4 + ax2 + bx

Діаграма катастрофи «збірка» з точкою повернення, на якій показані криві (коричневі, червоні) по змінній x, що задовольняють висловом для параметрів (a, b), криві показані для безперервно змінюється параметра b при різних значеннях параметра a. Поза геометричного місця точок повернення (синя область) для кожної точки (a, b) в фазовому просторі існує тільки одне екстремальне значення змінної x. Усередині точок повернення існує два різних значення x, які дають локальні мінімуми функції V (x) для кожної пари (a, b). При цьому зазначені значення розділені локальним максимумом.

V = x5 + ax3 + bx2 + cx

Керуючий простір в даному типі катастроф є тривимірним. Каскад біфуркацій у фазовому просторі складається з трьох поверхонь біфуркацій типу «згортки», які зустрічаються на двох кривих біфуркацій з точками повернення, які в кінцевому підсумку зустрічаються в одній точці, яка представляє собою біфуркацію типу «ластівчин хвіст».

У міру проходження значень параметрів по поверхнях областей біфуркацій типу «згортка» пропадає один мінімум і один максимум потенційної функції. В області біфуркацій з точкою повернення два мінімуму і один максимум заміщуються одним мінімумом; за ними біфуркації типу «згортка» зникають. У точці ластівчин хвіст два мінімуму і два максимуми зустрічаються в одному значенні змінної x. Для значень a> 0 за ластівчин хвіст існує або одна пара (мінімум, максимум), або не існує взагалі ніяких біфуркацій. Це залежить від значень параметрів b і c. Дві поверхні біфуркацій типу «згортка» і дві лінії біфуркацій з точками повернення зустрічаються при a <0, а тому зникають в самій точці ластівчин хвіст, замінюючись однією поверхнею біфуркацій типу «згортка». Остання картина Сальвадора Далі під назвою «ластівчин хвіст» створена під впливом цього типу катастроф.

V = x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx

Залежно від значень параметрів потенційна функція може мати три, два або один локальний мінімум, причому всі мінімуми розділені областями з біфуркації типу «згортка». У точці з поетичною назвою «метелик» зустрічаються три різні простору (тривимірних площині) таких біфуркацій типу «згортка», дві поверхні біфуркацій з точками повернення і крива біфуркацій типу «ластівчин хвіст». Всі ці біфуркації пропадають в одній точці і перетворюються в просту структуру з точкою повернення тоді, коли значення параметра a стає позитивним.

Омболічні катастрофи є прикладами катастроф другого порядку. Вони, наприклад, можуть спостерігатися в оптиці при відображенні світла від тривимірних поверхонь. Самі по собі такі катастрофи тісно пов'язані з геометрією майже сферичних поверхонь. Рене Том запропонував розглядати гіперболічну омбілічну катастрофу як руйнування хвилі, а еліптичну омбілічну катастрофу - як процес створення структур, схожих на волосяний покрив.