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Distribución de Poisson y proceso de Poisson

Universidad Central

Jesús de Ávila / Alejandro Gonzalez

01/10/2019

Introducción

Introducción

Simeón Denis Poisson Fisico y Matemático Francés (1781-1840) reconocido por diferentes trabajos en campos de la electricidad,sus publicaciones sobre la geometria diferencial y teoría de probabilidades, esta ultima llamada Distribución de Poisson en su honor.

Función de Densidad de Probabilidad

Definición

Definición:

Es una Distribución de Probabilidad Discreta, expresa a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros", se dio a conocer en 1838 en su investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles.

P(x): Es el número de ocurrencias del evento o fenómeno.

λ(Lambda): Es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra un fenómeno. (El número de presentaciones por intervalos de tiempo) elevada a la x potencia.

e o 2.71828: Es la base de los logaritmos naturales elevada a la potencia Lambda negativa.

Ejemplo:

Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 partículas entren al contador en un milisegundo dado?

Solución: Al usar la distribución de Poisson con x = 6 y λ = 4

Tabla: Sumas de probabilidades según POISSON.

Propiedades

Propiedades:

1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria.

2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

Media: λ.

Mediana: (λ+1/3-0.02/λ).

Moda: (λ)-1.

Varianza: λ.

Coeficiente de Simetria: λ^-1/2.

Curtosis: 3+λ^-1.

Desviacion Estandar: Raiz Cuadrada de λ.

Distribución de Probabilidad: Variable Aleatoria Discreta

Naturaleza

Naturaleza de la función de probabilidad de Poisson:

Al igual que muchas distribuciones discretas y continuas, la forma de la distribución se vuelve cada vez más simétrica, incluso con forma de campana, conforme la media se hace más grande.

Tenemos gráficas de la función de probabilidad para μ = 0.1, μ = 2 y

finalmente μ = 5

Ejemplos:

Ejemplo: 1

Ejemplo: 2

El número promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es

10. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15 camiones-tanque por día.

¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que regresar?

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia.

Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los

accidentes son independientes entre sí.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un

accidente en un día?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?

Solucion 1:

Solucion 2:

Solucion: Sea X el número de camiones-tanque que llegan cada día.

Solucion: Sea X una variable aleatoria binomial con n = 400 y p = 0.005. Así, np = 2. Con la aproximación de Poisson.

Conclusión

Conclusión

La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas, control de calidad, aseguramiento de calidad y muestreo de aceptación.

Bibliografia

Recursos Bibliograficos

  • Probabilidad y Estadistica para Ingenieria y Ciencias - Ronald Walpole _ Raymond Myers

  • Probabilidad y Estadistica para Ingenieria y Ciencias

- Jay L. Devore

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