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Transcript

Gauß -

Verfahren

Gauß

Schwimmbadbesuch

Stellen Sie sich vor, Sie gehen mit Ihrer Familie in ein Schwimmbad. In diesem Schwimmbad gibt es

drei Preiskategorien: Senioren, Erwachsene und Kinder. Eine gute Freundin fragt Sie nach dem

Eintrittspreis für Erwachsene. Sie wissen den Einzelpreis nicht mehr, waren aber an drei verschiedenen Tagen dort, jeweils mit anderer Besetzung und kennen noch den Gesamtpreis der einzelnen Tage.

Einstiegsbeispiel

75€

50€

Tag 1: 2 Erwachsene, 2 Senioren, 3 Kinder

Tag 2: 1 Erwachsener, 2 Senioren, 2 Kinder

Tag 3: 1 Erwachsener, 3 Senioren, 4 Kinder

70€

Schwimmbad- besuche

x1

x2

x3

75€

Gleichung aufstellen

Tag 1:

2 Erwachsene, 2 Senioren, 3 Kinder

Tag 2:

1 Erwachsener, 2 Senioren, 2 Kinder

Tag 3:

1 Erwachsener, 3 Senioren, 4 Kinder

50€

70€

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 75

Schritt 1:

Gleichung aufstellen

1 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 50

x1: Preis für einen Erwachsenen

x2: Preis für einen Senior

x3: Preis für ein Kind

1 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 70

Gleichung in Stufenform bringen

Äquivalenz- umformungen

Stufenform

Die Stufenform

1x1 + 2x2 + 2x3 = 50

0 x2 + 2x3 = 20

0 0 3x3 = 15

Was ist die Stufenform?

Die Stufenform in der Matrixschreibweise

x1

1 + 2 + 2 50

x3

=

x2

=

0 1 + 2 20

x3

0 0 3 15

x3

=

x1

x2

x3

Äquivalenzumformungen

Durch Anwendung von Äquivalenzumformungen auf das ursprüngliche Gleichungssystem wird das LGS in eine einfachere Form gebracht, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern. Folgende Zeilenoperationen sind erlaubt:

.

Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten

Zwei Gleichungen miteinander vertauschen

Addition zu einer anderen Gleichung

I

Gleichung in Stufenform bringen

II

III

I

II

I

IIb

III

I

III

I

IIb

IIIb

IIb

IIIb

I

IIb

IIIc

Lösen durch rückwärts einsetzen

1x1 + 2x2 + 2x3 = 50

x2 + 2x3 = 20

5€

Preis für ein Kind

3x3 = 15

x3 = 5

1x1 + 2x2 + 2x3 = 50

10€

x2 + 2 = 20

⋅ 5

x2 = 10

Preis für einen Senior

x3

20€

Preis für einen Erwachsenen

⋅10

x2

x3

⋅ 5

x1 = 20

1x1 + 2 + 2 = 50

rückwärts einsetzen

Carl Friedrich Gauß

Carl Friedrich

  • Geboren 1777 in Braunschweig
  • Verstorben 1855 in Göttingen
  • Gauß betrachtete Lineare Gleichungssysteme (LGS) im Zusammenhang mit astronomischen Problemen
  • 1811 entwickelte er den nach ihm benannten Algorithmus
  • Dank seines Algorithmus konnte nun die Anzahl an Gleichungen und Unbekannten verschieden sein.
  • Neben des Algorithmus erfand er auch die Gauß'schen Zahlenebene

Forschungsgebiete

Forschungsgebiete

  • Mathematik
  • Astronomie
  • Physik
  • Elektrotechnik
  • Geodäsie
  • Statistik

Das Gauß Verfahren

Das Gauß - Verfahren

  • Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

  • Äquivalenzumformungen ändern das LGS, erhalten aber die Lösung

  • Dadurch kann das LGS in die sogenannte Stufenform gebracht werden

  • Durch Rückwärts einsetzen erhält man dann leicht die Lösungen

  • Ziel ist es, für jede Variable eine Zahl zu finden, die alle Gleichungen korrekt löst.

Lineares Gleichungssystem

(LGS)

LGS

1

Lösungsvielfalt

Schnittpunkt

Das Einstiegsbeispiel stellt ein 3x3 LGS dar. Zunächst betrachten wir ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen. Dieses LGS lässt sich grafisch in einer Ebene veranschaulichen.

Lösungsvielfalt

3D - Darstellung

2D - Darstellung

2D - Darstellung

Allgemein kennen wir die Geradengleichung = m + b

x

y

x1

x2

nach b aufgelöst -m x1 + x2 = b

Beispiel:

L = {(2;3)}

Durch umformen und ersetzen durch x1 und x2 erhalten wir ein 2x2 LGS

Wir subtrahieren die zweite von der ersten Zeile und ersetzen die 2. Zeile mit dem Ergebnis

x2 = 3

L = {(2;3)}

x1 = 2

L = {(t;t+1)}

L = { }

t ist Element von R x1 = t x2 = t+1

3D - Darstellung

Unser Einstiegsbeispiel hatte 3 Variablen (3x3 LGS). Eine Gleichung mit 3 Variablen lässt sich im Koordinatensystem mit 3 Achsen darstellen. Das Bild ergibt eine Ebene im Raum.

Unendlich viele Lösungen:

Die Ebenen liegen aufeinander oder besitzen eine gemeinsame Gerade

Koordinatengleichung

2 x1 + 2 x2 + 3⋅x3 = 75

Die Koeffizienten (2;2;3) ergeben den Normalvektor der Ebene

1 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 50

1 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 70

Keine Lösung:

Es gibt keinen Punkt der auf allen 3 Ebenen liegt.

Eine Lösung:

Alle Ebenen treffen sich in einem Punkt

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