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Stellen Sie sich vor, Sie gehen mit Ihrer Familie in ein Schwimmbad. In diesem Schwimmbad gibt es
drei Preiskategorien: Senioren, Erwachsene und Kinder. Eine gute Freundin fragt Sie nach dem
Eintrittspreis für Erwachsene. Sie wissen den Einzelpreis nicht mehr, waren aber an drei verschiedenen Tagen dort, jeweils mit anderer Besetzung und kennen noch den Gesamtpreis der einzelnen Tage.
75€
50€
70€
x1
x2
x3
75€
50€
70€
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 75
1 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 50
x1: Preis für einen Erwachsenen
x2: Preis für einen Senior
x3: Preis für ein Kind
1 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 70
1x1 + 2x2 + 2x3 = 50
0 x2 + 2x3 = 20
0 0 3x3 = 15
x1
1 + 2 + 2 50
x3
=
x2
=
0 1 + 2 20
x3
0 0 3 15
x3
=
x1
x2
x3
.
Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten
Zwei Gleichungen miteinander vertauschen
Addition zu einer anderen Gleichung
I
II
III
I
II
I
IIb
III
I
III
I
IIb
IIIb
IIb
IIIb
I
IIb
IIIc
1x1 + 2x2 + 2x3 = 50
x2 + 2x3 = 20
5€
Preis für ein Kind
3x3 = 15
x3 = 5
1x1 + 2x2 + 2x3 = 50
10€
x2 + 2 = 20
⋅ 5
x2 = 10
Preis für einen Senior
x3
20€
Preis für einen Erwachsenen
⋅10
x2
x3
⋅ 5
x1 = 20
1x1 + 2 + 2 = 50
(LGS)
Schnittpunkt
3D - Darstellung
2D - Darstellung
x
y
x1
x2
nach b aufgelöst -m x1 + x2 = b
Beispiel:
L = {(2;3)}
Durch umformen und ersetzen durch x1 und x2 erhalten wir ein 2x2 LGS
Wir subtrahieren die zweite von der ersten Zeile und ersetzen die 2. Zeile mit dem Ergebnis
x2 = 3
L = {(2;3)}
x1 = 2
L = {(t;t+1)}
L = { }
t ist Element von R x1 = t x2 = t+1
Unendlich viele Lösungen:
Die Ebenen liegen aufeinander oder besitzen eine gemeinsame Gerade
Koordinatengleichung
2 x1 + 2 x2 + 3⋅x3 = 75
Die Koeffizienten (2;2;3) ergeben den Normalvektor der Ebene
1 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 50
1 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 70
Keine Lösung:
Es gibt keinen Punkt der auf allen 3 Ebenen liegt.
Eine Lösung:
Alle Ebenen treffen sich in einem Punkt