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LOS NÚMEROS NATURALES

Profesor: Manuel González de León

1.-El conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales se designa con la letra N, y son los números que sirven para contar y ordenar

Están siempre ordenados, tienen principio pero no fin

1.- El conjunto de los números naturales

Se representan ordenados en la recta númerica

a.- Sistema de numeración decimal

Todas las culturas han utilizado distintas formas de expresar los números naturales

a.- Sistema de numeración decimal

Egipcios

Romanos

Sistema de Numeración Decimal

Nosotros utilizamos El Sistema de Numeración Decimal ( S.N.D.)

Es DECIMAL , porque 10 unidades del mismo orden, forman una unidad de orden inmediato superior.

Sistema de Numeración Decimal

Es POSICIONAL, porque el valor de una cifra depende de la posición que ocupa

Ejercicios

Pg 11

2 y 4

b.- Sistema Binario

Se denomina Sistema Binario porque utiliza solo dos signos el 0 y el 1 ( 1 encendido, el 0 apagado)

Las órdenes de unidades se asocian a las sucesivas potencias de 2.

b.- Sistema Binario

Expresa el número 114 en sistema binario

2

114

2

57

0

1

2

28

Ejemplos

14

0

2

0

2

7

3

2

1

114 = 1 1 1 0 0 1 0

c.- El sistema Sexagesimal

El sistema sexagesimal ( contar de 60 en 60) se utiliza para las medidas de tiempo y la amplitud angular.

c.- Sistema Sexagesimal

Forma compleja e incompleja

Compleja: 1h 15 min Incompleja: 75 min

d.- Ejercicios

Ejercicios

Realiza la descomposición polinómica del número 35.658

35658

1

·

Expresa en sistema binario el número 138

2

3

4

2.- Operaciones con Números Naturales

Operaciones Combinadas

Jerarquía de las operaciones

Paréntesis y corchetes de dentro a fuera

( ) , [ ]

2

Potencias y Raíces

x

2.- Operaciones con Números Naturales

· , :

Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha

Sumas y restas de izquierda a derecha

+ , -

Ejercicios pg 13

Ejercicios

2

:

)

)

:

3

(

8

(

+

2

4

9

2

√25

·

Paréntesis y corchetes de dentro a fuera

Potencias y Raíces

1 Resuelto

Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha

Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha

Sumas y restas de izquierda a derecha

Ejercicio nº 1

1

Ejercicio 2

2. Resuelve y observa la influencia de los paréntesis.

a) 6 · 7 – 3 · 2 + 8 b) 6 · 7 – 3 · (2 + 8)

c) 6 · (7 – 3) · 2 + 8 d) 6 · (7 – 3 · 2) + 8

e) 6 · (7 – 3) · (2 + 8) f ) 6 · (7 – 3 · 2 + 8)

2

Ejercicio 3

3

Ejercicio 4

4. En una prueba de 20 preguntas se califica con tres puntos cada respuesta acertada, se penaliza con dos puntos cada pregunta sin contestar y se resta un punto por cada respuesta errónea.

Observa lo que han hecho Jorge y Marta:

– Jorge ha acertado 13 preguntas y ha fallado 4, dejando el resto sin contestar.

– Marta ha contestado 18 preguntas, de las cuales ha fallado 2.

a) ¿Cuál de estas expresiones nos da la puntuación de Jorge?

13 · 3 – 4 · 1 – (20 – 13 + 4) · 2

13 · 3 – 4 · 1 – [20 – (13 + 4)] · 2

b) Escribe una expresión que nos dé la puntuación de Marta.

c) ¿Cuántos puntos ha obtenido cada uno?

4

3.- Relación de Divisibilidad

Dos números están en relación de divisibilidad cuando su división es exacta

3.- Relación de Divisibilidad

a.- Múltiplo de un número

Un número “a” es múltiplo de otro “n”, cuando es el resultado de multiplicar el segundo, en este caso “n”, por cualquier número natural.

De otra forma: Llamamos múltiplo de un número al que contiene a otro un número exacto de veces.

a.- Múltiplo de un número

b.- Divisores de un número

Un número “n” es divisor o factor de otro “a” cuando la división del segundo entre el primero es exacta.

b.- Divisores de un número

Un número tiene infinitos múltiplos (Tabla de multiplicar)

Por lo tanto:

Un número tiene una cantidad finita de divisores.

- Cálculo de todos los divisores de un número

Para saber los divisores de un número seguiremos estos pasos:

Se escribe ordenadamente el número como producto de dos factores empezando por el 1.

Se termina cuando se repiten los factores.

- Cálculo de todos los divisores de un número

Los factores aparecidos son todos los divisores del número.

Ej.: Hallar los divisores de 18:

Los divisores son:

Ejemplo

SE REPITEN

c.- Una propiedad de los múltiplos de un número

d.- Criterios de divisibilidad

d.- Criterios de divisibilidad

DIVISIBLE POR 2

Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en cifra par

ES DECIR CUANDO TERMINA EN : 0, 2 , 4 , 6 y 8

DIVISIBLE POR 2

4

1

0

4

3

0

DIVISIBLE POR 3

Un número es divisible por 3 cuando la suma de su cifras es múltiplo de 3

2 + 3 + 7 =

237

DIVISIBLE POR 3

5 + 7 =

12

DIVISIBLE POR 5

Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.

0

5

2

6

0

0

5

DIVISIBLE POR 5

Son divisibles por 5

DIVISIBLE POR 7

Cuando la diferencia entre el número sin las cifras de las unidades y el doble de las cifras de las unidades es 0 o múltiplo de 7

6 – 6 = 0

63

6 – 3 • 2

DIVISIBLE POR 7

157 – 5 • 2 = 147

14 – 7 • 2 = 0

1575

DIVISIBLE POR 11

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar impar, menos la suma de las cifras del lugar par es 0 o múltiplo de 11.

DIVISIBLE POR 11

( 1 + 1 ) – 2 = 0

e.- Ejercicios pg 17

2, 6 y 8

e.- Ejercicios pg 17

Ejercicio 2

2. Escribe:

a) Los cinco primeros múltiplos de 20.

b) Todos los divisores de 20.

Ejercicio 2

Ejercicio 6

6. Copia estos números y sigue las instrucciones.

14 - 21 - 24 - 36 - 40 - 57 - 75 - 96

111 - 180 - 241 - 255 - 308 - 354 - 420

a) Rodea los múltiplos de 2.

b) Tacha los múltiplos de 3.

c) ¿Cuáles son múltiplos de 6?

Ejercicio 6

Ejercicio 8

8. Selecciona, entre estos números, los múltiplos de 11.

286 611 913 1804 2444 3333

Ejercicio 8

4.- Números primos y compuestos

4.- Números primos y compuestos

A.- NÚMEROS PRIMOS

Un número es primo cuando solamente es divisible por sí mismo y por la unidad. Es decir solo tiene dos divisores.

A.- NÚMEROS PRIMOS

video

B.- NÚMEROS COMPUESTOS

Cuando tiene más divisores que él mismo y la unidad.

B.- NÚMEROS COMPUESTOS

8 = 1 • 8

8 = 2 • 4

C.- DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS::.

Es la expresión de ese número como producto de sus factores primos.

C.- DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS

Para ello tendremos en cuenta las siguientes normas:

1. Los primeros números primos para hacer la descomposición son:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,….

2. No pasaremos a ver si es divisible por 3, hasta agotar la divisibilidad por 2.

3. No pasaremos a ver si es divisible por 5, hasta que agotemos la divisibilidad por 3.

4. Así seguiremos el proceso hasta acabar la descomposición factorial, que termina cuando el último cociente es 1.

El número, que hemos descompuesto, es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo

Descomponer en sus factores primos el número 270 ( Factorizar)

270 : 2 = 135

270

2

135 : 3 = 45

3

135

45 : 3 = 15

45

3

15 : 3 = 5

3

15

5 : 5 = 1

5

5

1 : 1 = 1

1

1

3

1

1

·

3

2

·

270 =

5

·

D.- EJERCICIOS PG19

5.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS::.

5.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS::.

Es el menor de los múltiplos comunes.

Se indica como: m.c.m.

Cálculo del m.c.m

1. Se descompone los números en sus factores primos

2. Se eligen los factores primos comunes y no comunes con el exponente más alto.

3. Se multiplica estos factores entre sí y el número obtenido es el m.c.m.

Cálculo del m.c.m

Problemas de este tipo:

Son aquellos en los que nos piden cuando coinciden o cual es el menor número de ellos

Calcular el m.c.m. de 10, 12, y 30

m.c.m. (10, 12 y 30) =

30

2

12

10

2

2

60

1

3

·

2

3

15

5

·

·

=

5

2

6

5

5

5

1

3

1

3

Comunes y no comunes con mayor exponente

1

Ejemplo

1

1

2

1

2

Comunes

1

No comunes

5

3

2

30 = 2 · 3 · 5 · 1

10 = 2 · 5 · 1

12 = 2 · 3 · 1

Problema

Cierto supermercado hace inventario cada 36 días y recoloca los expositores cada 24 días.

¿Cada cuánto tiempo coinciden ambos trabajos en el mismo día?

m.c.m de 24 y 36

Problema

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

6.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Es el MAYOR de los DIVISORES comunes.

Se indica como: M.C.D.

Cálculo del M.C.D

1. Se descompone los números en sus factores primos

2. Se eligen los factores primos comunes con el exponente más bajo.

3. Se multiplica estos factores entre sí y el número obtenido es el M.C.D.

Cálculo del M.C.D.

Problemas de este tipo:

Es aquel que nos piden cual es el mayor número que podamos encontrar o que número es el más grande posible.

Calcular el M.C.D.de 10, 12, y 30

M.C.D. (10, 12 y 30) =

30

2

12

10

2

2

·

2

3

15

=

1

5

2

6

5

5

5

1

3

1

3

Comunes con menor exponente

1

Ejemplo

1

1

1

2

Comunes

1

2

30 = 2 · 3 · 5 · 1

10 = 2 · 5 · 1

12 = 2 · 3 · 1

Problema

lo más grande que sea posible

Un Carpintero saca del almacén dos listones, uno de 180 cm y el otro de 210 cm, y los quiere dividir en trozos iguales, lo más grande que sea posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto debe medir cada trozo)

M.C.D de ( 180 y 210 )

Problema

7.-EJERCICIOS

PG 22: 3, 4, 5, 6, 11 y 12

PG 23: 15, 19, 20 y 22

PG 25: 32, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 44 y 45

7.-EJERCICIOS PG 22: 3, 4, 5, 6, 11 y 12

PG 23: 15, 19, 20 y 22

PG 25: 32, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 44 y 45

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