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Profesor: Manuel González de León
El conjunto de los números naturales se designa con la letra N, y son los números que sirven para contar y ordenar
Están siempre ordenados, tienen principio pero no fin
Se representan ordenados en la recta númerica
Todas las culturas han utilizado distintas formas de expresar los números naturales
Nosotros utilizamos El Sistema de Numeración Decimal ( S.N.D.)
Es DECIMAL , porque 10 unidades del mismo orden, forman una unidad de orden inmediato superior.
Es POSICIONAL, porque el valor de una cifra depende de la posición que ocupa
Se denomina Sistema Binario porque utiliza solo dos signos el 0 y el 1 ( 1 encendido, el 0 apagado)
Las órdenes de unidades se asocian a las sucesivas potencias de 2.
2
114
2
57
0
1
2
28
14
0
2
0
2
7
3
2
1
114 = 1 1 1 0 0 1 0
El sistema sexagesimal ( contar de 60 en 60) se utiliza para las medidas de tiempo y la amplitud angular.
Forma compleja e incompleja
Compleja: 1h 15 min Incompleja: 75 min
35658
·
Operaciones Combinadas
Jerarquía de las operaciones
Paréntesis y corchetes de dentro a fuera
1º
( ) , [ ]
2
Potencias y Raíces
x
2º
· , :
Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
3º
Sumas y restas de izquierda a derecha
4º
+ , -
2
:
)
–
)
:
3
(
8
(
+
2
4
9
2
√25
·
Paréntesis y corchetes de dentro a fuera
1º
2º
Potencias y Raíces
Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
3º
Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
3º
4º
Sumas y restas de izquierda a derecha
2. Resuelve y observa la influencia de los paréntesis.
a) 6 · 7 – 3 · 2 + 8 b) 6 · 7 – 3 · (2 + 8)
c) 6 · (7 – 3) · 2 + 8 d) 6 · (7 – 3 · 2) + 8
e) 6 · (7 – 3) · (2 + 8) f ) 6 · (7 – 3 · 2 + 8)
4. En una prueba de 20 preguntas se califica con tres puntos cada respuesta acertada, se penaliza con dos puntos cada pregunta sin contestar y se resta un punto por cada respuesta errónea.
Observa lo que han hecho Jorge y Marta:
– Jorge ha acertado 13 preguntas y ha fallado 4, dejando el resto sin contestar.
– Marta ha contestado 18 preguntas, de las cuales ha fallado 2.
a) ¿Cuál de estas expresiones nos da la puntuación de Jorge?
13 · 3 – 4 · 1 – (20 – 13 + 4) · 2
13 · 3 – 4 · 1 – [20 – (13 + 4)] · 2
b) Escribe una expresión que nos dé la puntuación de Marta.
c) ¿Cuántos puntos ha obtenido cada uno?
Dos números están en relación de divisibilidad cuando su división es exacta
Un número “a” es múltiplo de otro “n”, cuando es el resultado de multiplicar el segundo, en este caso “n”, por cualquier número natural.
De otra forma: Llamamos múltiplo de un número al que contiene a otro un número exacto de veces.
Un número “n” es divisor o factor de otro “a” cuando la división del segundo entre el primero es exacta.
Un número tiene infinitos múltiplos (Tabla de multiplicar)
Por lo tanto:
Un número tiene una cantidad finita de divisores.
Para saber los divisores de un número seguiremos estos pasos:
Se escribe ordenadamente el número como producto de dos factores empezando por el 1.
Se termina cuando se repiten los factores.
Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
Los divisores son:
SE REPITEN
Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en cifra par
ES DECIR CUANDO TERMINA EN : 0, 2 , 4 , 6 y 8
4
1
0
4
3
0
Un número es divisible por 3 cuando la suma de su cifras es múltiplo de 3
2 + 3 + 7 =
237
5 + 7 =
12
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
0
5
2
6
0
0
5
Son divisibles por 5
Cuando la diferencia entre el número sin las cifras de las unidades y el doble de las cifras de las unidades es 0 o múltiplo de 7
6 – 6 = 0
63
6 – 3 • 2
157 – 5 • 2 = 147
14 – 7 • 2 = 0
1575
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar impar, menos la suma de las cifras del lugar par es 0 o múltiplo de 11.
( 1 + 1 ) – 2 = 0
2, 6 y 8
2. Escribe:
a) Los cinco primeros múltiplos de 20.
b) Todos los divisores de 20.
6. Copia estos números y sigue las instrucciones.
14 - 21 - 24 - 36 - 40 - 57 - 75 - 96
111 - 180 - 241 - 255 - 308 - 354 - 420
a) Rodea los múltiplos de 2.
b) Tacha los múltiplos de 3.
c) ¿Cuáles son múltiplos de 6?
8. Selecciona, entre estos números, los múltiplos de 11.
286 611 913 1804 2444 3333
Un número es primo cuando solamente es divisible por sí mismo y por la unidad. Es decir solo tiene dos divisores.
Cuando tiene más divisores que él mismo y la unidad.
8 = 1 • 8
8 = 2 • 4
Es la expresión de ese número como producto de sus factores primos.
Descomponer en sus factores primos el número 270 ( Factorizar)
270 : 2 = 135
270
2
135 : 3 = 45
3
135
45 : 3 = 15
45
3
15 : 3 = 5
3
15
5 : 5 = 1
5
5
1 : 1 = 1
1
1
3
1
1
·
3
2
·
270 =
5
·
Es el menor de los múltiplos comunes.
Se indica como: m.c.m.
1. Se descompone los números en sus factores primos
2. Se eligen los factores primos comunes y no comunes con el exponente más alto.
3. Se multiplica estos factores entre sí y el número obtenido es el m.c.m.
Problemas de este tipo:
Son aquellos en los que nos piden cuando coinciden o cual es el menor número de ellos
m.c.m. (10, 12 y 30) =
30
2
12
10
2
2
60
1
3
·
2
3
15
5
·
·
=
5
2
6
5
5
5
1
3
1
3
Comunes y no comunes con mayor exponente
1
1
1
2
1
2
Comunes
1
No comunes
5
3
2
30 = 2 · 3 · 5 · 1
10 = 2 · 5 · 1
12 = 2 · 3 · 1
Cierto supermercado hace inventario cada 36 días y recoloca los expositores cada 24 días.
¿Cada cuánto tiempo coinciden ambos trabajos en el mismo día?
m.c.m de 24 y 36
Es el MAYOR de los DIVISORES comunes.
Se indica como: M.C.D.
1. Se descompone los números en sus factores primos
2. Se eligen los factores primos comunes con el exponente más bajo.
3. Se multiplica estos factores entre sí y el número obtenido es el M.C.D.
Problemas de este tipo:
Es aquel que nos piden cual es el mayor número que podamos encontrar o que número es el más grande posible.
M.C.D. (10, 12 y 30) =
30
2
12
10
2
2
·
2
3
15
=
1
5
2
6
5
5
5
1
3
1
3
Comunes con menor exponente
1
1
1
1
2
Comunes
1
2
30 = 2 · 3 · 5 · 1
10 = 2 · 5 · 1
12 = 2 · 3 · 1
lo más grande que sea posible
Un Carpintero saca del almacén dos listones, uno de 180 cm y el otro de 210 cm, y los quiere dividir en trozos iguales, lo más grande que sea posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto debe medir cada trozo)
M.C.D de ( 180 y 210 )