Triângulo

Introdução

I Conceito - elementos - Classificação

Elementos (vértice, lados, ângulo)

Classificação

Quanto ao lados

Equilátero

Isóscele

Escaleno

Quanto aos ângulos

Retângulo

Acutângulo

Obtusângulo

1/2

Introdução

I Congruência de Triângulos

1° Caso - LAL

2° Caso - ALA

3° Caso - LLL

4° Caso - LAAopost

Teorema do triângulo isósceles

Teorema importante

Ãngulo externo

Soma dos ângulo interno e externo

1/2

Introdução

I Segmentos e Pontos Notáveis

Segmento Notáveis

Mediana

Bissetriz

Mediatriz

Altura

Pontos Notáveis

Incentro

Baricentro

Ortocentro

Circuncentro

1/2

Introdução

I Área de um Triângulo

Relação Métrica no Triângulo Retângulo

1/2

Conceitos e Definições

Definição

Dados três pontos, A, B e C, não colineares, à reunião dos segmentos chama-se triângulo ABC.

Representação

Triângulo

Onde:

Vértices: Os pontos A, B e C

Lados: Segmentos

Ângulo:

1/1

Classificação

Quanto aos lados

Equilátero

Se, e somente se, têm os três lados congruentes;

1/10

Classificação

Isósceles

Se, e somente se, têm os dois lados congruentes;

2/10

Classificação

Escaleno

Se, e somente se, têm os três lados não congruentes.

3/10

Classificação

Exercício

Resolva

4/10

Classificação

Exercício

Considerando que os triângulos são isósceles.

Considerando que os triângulos são equilátero .

5/10

Classificação

Exercício

6/10

Classificação

Quanto aos ângulos

Retângulo

Se, e somente se, têm um ângulo reto;

7/10

Classificação

Quanto aos ângulos

Acutângulo

Se, e somente se, têm os três ângulos agudos.

8/10

Classificação

Quanto aos ângulos

Acutângulo

Se, e somente se, têm um ângulo obtuso.

9/10

Classificação

Classifique em verdadeiro (v) e falso (f).

a) Todo triângulo isósceles é equilátero.

b) Todo triângulo equilátero é isósceles.

c) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.

d) Todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo.

e) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno.

f) Existe triângulo retângulo é isósceles.

g) Existe triângulo isósceles obtusângulo.

h) Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero.

10/10

Teoremas impotantes

Os seguintes teoremas foram demonstrado na aula de Paralelismo e perpendicularismo

Soma dos ângulos internos de um Triângulo

Soma dos ângulos externo de um Triângulo

1/7

Teoremas impotantes

Teorema de bissetriz interna

2/7

Teoremas Impotantes

Resolva

3/7

Teoremas Impotantes

Teorema de bissetriz Externo

Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes.

4/7

Teoremas Impotantes

Resolva

5/7

Teoremas Impotantes

Teorema do Bumerangue

A parti do teorema do ângulo externo temos:

->

onde :

x = a + b

c = d + x

logo

c = a + b +d

6/7

Teoremas Impotantes

Resolva

7/7

Segmentros e Pontos Notáveis

Segmento Notáveis

Altura

Mediana

Bissetriz interna

Mediatriz

Pontos Notáveis

Baricentro

Incentro

Circuncentro

Ortocentro

1/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Mediana de um Triângulo

Segmento com extremos e um vértice e no ponto médio do lado oposto.

é o ponto médio do lado .

é a mediana relativa ao lado .

é a mediana relativa ao vértice A.

2/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Encontro das Medianas

As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

Onde :

AG = 2 u e GN = 1 u

BG = 2 w e GP = 1 w

CG = 2 v e GM = 1 v

3/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Baricentro Triângulo

O ponto de interseção (ponto de encontro) das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo.

4/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Bisssetriz

Semirreta com origem no vértice do ângulo interno, dividindo-o em dois ângulos congruentes.

Propriedade dos pontos da bissetriz

Usando o caso LLA de congruencia temo:

Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo.

o

5/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Encontro das Bisssetrizes

As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual distância dos lados do triângulo.

6/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Incetro

É o centro da circunferência inscrita no triângulo.

7/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Mediatriz de um Triângulo

Reta perpendicular ao lado, passando pelo seu ponto médio.

8/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Propriedade dos pontos da mediatriz

Usando o caso LAL de congruência temos:

Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do segmento.

9/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Interseção das mediatrizes

O ponto de interseção (ponto de encontro) das mediatrizes dos lados de um triângulo é o circuncentro.

10/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Altura

Segmento perpendicular ao lado, com extremo no vértice oposto.

11/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Encontro das alturas

As três retas suportes das alturas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto.

12/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Circuncentro

Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

13/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Classifique em verdadeiro (v) ou falso (f).

a) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

b) O circuncentro é o centro da circunferência circunstrita ao triângulo .

c) O incentro é intrno ao triângulo.

d) O baricentro é interno ao triângulo.

e) O ortocentro é interno ao triângulo.

f) O circuncentro é interno ao triângulo.

g) O baricentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:

a) O ortocentro e o baricentro são coincidentes.

b) O incentro e o circuncentro são coincidentes.

c) O ortocentro é um dos vértices.

d) O ortocentro é externo.

e) O circuncentro é externo.

f) O circuncentro está em um dos lados.

g) O ortocentro é um ponto interno.

14/15

Segmentros e Pontos Notáveis

Considerando os quatro pontos notáveis de um triângulo:

a) Quais os que podem ser externos ao triângulo ?

b) Qual o que pode ser ponto médio de um lado ?

c) QUal o que pode ser vértice do triângulo ?

15/15

Casos de Congruência

Definição

Um triângulo é congruente ( ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:

1° Os ângulos internos são congruentes;

2° Os lados são congruentes.

Veja:

1/8

Casos de Congruência

Casos de Congruência

1° Caso: L A L -

Se dois triângulos têm ordenadamente dois lados e o ângulo entre eles congruentes, então eles são congruentes.

2/8

Casos de Congruência

Casos de Congruência

2° Caso: A L A

Se dois triângulos têm ordenadamente um lado e dois ângulos a ele adjacentes, , então eles são congruentes.

3/8

Casos de Congruência

Casos de Congruência

3° Caso: L L L

Se dois triângulos têm ordenadamente os três lados , então eles são congruentes.

4/8

Casos de Congruência

Casos de Congruência

4° Caso: LAA

Se dois triângulos têm ordenadamente os três lados , então eles são congruentes.

o

5/8

Casos de Congruência

Casos de Congruência

5° Caso Especial Triângulo retângulo

Se dois triângulos retângulo têm um cateto e a hipotenusa congruente, então esses triângulos são congruentes.

6/8

Casos de Congruência

Resolva

Os pares de triângulo abaixo são congruentes. Indique o caso de congruência.

7/8

Casos de Congruência

Resolva

Selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência.

8/8

Desigualdades nos Triângulos

Definição

Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

1/3

Desigualdades nos Triângulos

Ao maior ângulo opõe-se o maior lado

Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

2/3

Desigualdades nos Triângulos

Além disso:

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

Onde:

Ib - c I < a < b + c

Ia - c I< b < a + c

Ia - b I< c < Ia + bI

3/3

Semelhança de Triângulo

Definição

Dois triângulos são semelhantes ( )se, e somente se, é possivel estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:

a) Os ângulos correspondentessão congruentes.

b) Os lados correpondentes são proporcionais.

1/14

Semelhança de Triângulo

Razão de semelhança

Sendo K a razão entre os lados homólogos, temos:

Quando k = 1, chamamos de triângulos congruentes.

ex.:

2/14

Semelhança de Triângulo

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dosis em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semenlhante ao primeiro.

->

Onde:

3/14

Semelhança de Triângulo

Teorema Fundamental

ex.:

4/14

Semelhança de Triângulo

Resolva

1) Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.

2) Se o triângulo KLM é semelhante ao FGH, determine x.

5/14

Semelhança de Triângulo

Resolva

3) Se DE é paralelo a BC, determine x nos casos:

4) Na figura, AB = 2 (BC e BE = 14. Calcule CD, sabendo que

AB = 2a, BC = a

BE = 14 e CD = x

6/14

Semelhança de Triângulo

Casos ou Critérios de semelhança

1° Caso

"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes".

7/14

Semelhança de Triângulo

Casos ou Critérios de semelhança

1° Caso

"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes"

Esquema

8/14

Semelhança de Triângulo

Casos ou Critérios de semelhança

1° Caso

"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes"

Ex.:

9/14

Semelhança de Triângulo

Casos ou Critérios de semelhança

2° Caso

"Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então eles são semelhantes"

Ex.:

10/14

Semelhança de Triângulo

Casos ou Critérios de semelhança

2° Caso

"Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então eles são semelhantes"

Ex.:

11/14

Semelhança de Triângulo

Casos ou Critérios de semelhança

3° Caso

"Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes."

12/14

Semelhança de Triângulo

Exercicío

Resolva

13/14

Semelhança de Triângulo

Exercicío

Resolva

14/14

Triângulo Retângulos

Relações Métricas

Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

a: hipotenusa

b e c : catetos

m : projeção do cateto c sobre a.

n: projeção do cateto b sobre a.

1/4

Triângulo Retângulos

Relações Métricas

Com base em semelhanças, temos:

2/4

Triângulo Retângulos

Relações Métricas

Com base em semelhanças, temos:

1° b² = a. n

2° b² = a. m

3° h² = m . n

4° b . c = a . h

5° b . h = c . n

6° c . h = b . m

7° a² = b² + c²

3/3

Triângulo Retângulos

Exercícios

Resolva:

3/4

Triângulos Quaisquer

Teorema dos senos

Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Ex.:

1/2

Triângulos Quaisquer

Teorema dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.

Ex.:

2/2

Base média do triângulo

Def

Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então:

1° Ele é paralelo ao terceiro lado;

2° Ele é metade do terceiro lado;

1/1