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Geometria analitica
Le coniche
Le coniche
Si ottengono sezionando una superficie conica a due falde con un piano.
Le coniche
Sono quattro:
Quante sono
- Circonferenza
- Parabola
- Ellisse
- Iperbole
Circonferenza
Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
Circonferenza
Equazione e coordinate
x°2+y°2+ax+by+c=0
equazione
Il centro C ha coordinate (-a/2; -b/2)
Il raggio è uguale alla distanza di un punto qualunque della circonferenza dal centro.
r= radice quadrata di (-a/2)°2+(-b/2)°2-c
Casi particolari
- a=0 C su y
- b=0 C su x
- c=0 passa per l'origine
- a=b=0 C sull'origine
- a=c=0 C su y e passa per O
- b=c=0 C su x e passa per O
casi particolari
retta e circonferenza
delta<o delta=0 delta>0
esterna tangente secante
retta
posizione di circonferenze
Eseguendo la sottrazione tra l'equazione della circonferenza e quella della retta si trova l'asse radicale, ovvero la retta che passa per i punti in comune delle due circonferenze (punti base).
L'asse centrale è perpendicolare all'asse radicale e passa per i centri delle circonferenze.
posizione
fasci di circonferenze
Si utilizza il parametro K. L'equazione diventa :
x°2+y°2+ax+by+c+k(x°2+y°2+a'x+b'y+c')=0
fasci
Parabola
Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
Parabola
equazione e coordinate
parallela all'asse y:
y=ax°2+bx+c
equazione
Il vertice ha coordinate (-b/2a; -delta/4a)
Il fuoco ha coordinate (-b/2a; 1-delta/4a)
L'asse ha equazione x=-b/2a
La direttrice ha equazione y=-1+delta/4a
equazione e coordinate
parallela all'asse x :
x=ay°2+by+c
equazione
Il vertice ha coordinate (-delta/4a; -b/2a)
Il fuoco ha coordinate (1-delta/4a; -b/2a)
L'asse ha equazione y=-b/2a
La direttrice ha equazione x=-1+delta/4a
retta e parabaola
delta>0 delta=0 delta<0
secante tangente esterna
retta
fasci di parabole
Come per i fasci di circonferenze si utilizza il parametro K.
Hanno equazione y-ax°2-bx-c+k(y-a'x°2-b'x-c')=0
fasci
Ellisse
Luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Ellisse
equazione e coordinate
x°2/a°2+y°2/b°2=1 a>b
equazione
F1 ha coordinate (-c;0)
F2 ha coordinate (c;0)
L'eccentricità è il valore della deformità dell'ellisse rispetto a una circonferenza.
e=c/a
componenti dell'ellisse
componenti
PF1+PF2=cost
a=semiasse maggiore
b=semiasse minore
c=semidistanza focale c=radice quadrata di a°2-b°2
Iperbole
Luogo geometrico dei punti per i quali è costante la differenza tra le da due punti fissi detti fuochi.
Iperbole
equazione e coordinate
x°2/a°2-y°2/b°2=1
equazione
F1 ha coordinate (-c;0)
F2 ha coordinate (c;0)
e=c/a=radice quadrata di a°2+b°2/a
e>1
equazione degli asintoti: y= (a/b) x